この少年少女数学愛好会のシンボル的なものです。3年前の文化祭にむけて2ヶ月をかけて作りました。壁一面にはられたこのパスカルの三角形を見ると、少年少女数学愛好会が思い出されます。
(a+b)1=a1+b1
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
係数だけとって三角形に並べます。
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
こうしてできる三角形を「パスカルの三角形」といいます。パスカルの三角形にはいろいろな性質が隠されていて、彼の有名なニュートンも、この三角形をしらべてニュートン級数を見つけたということです。
さて、このパスカルの三角形で、偶数は青、奇数は赤というように2色で塗り分けてみましょう。そうすると写真のようになるわけです。写真ではさらに、ふもとに行くにしたがって、グラデーションをかけています。こうしてみると、おなじパターンの模様が繰り返し現われてきて、そのパターンがまた、同じようなパターンを作っていきます。この図形は自己相似図形となっていて、最近はやりのフラクタルになっているわけです。
(a+b+c)2の展開を考えましょう。
(a+b+c)2=a2+b2+c2
+2bc+2ca+2ab
この各項を、
a2
2ab 2ca
b2 2bc c2
の形に配置します。係数だけとると
となります。
これに(a+b+c)をかけます。a,b,cの各項を上の三角形にかけます。
a3
2a2b 2ca2
ab2 2abc c2a
a2b
2ab2 2abc ca2
b3 2b2c bc2 2abc 2c2a
b2c 2bc2 c3
この3枚の三角形の同類項を整理すると。
a3
3a2b 3ca2
3ab2 6abc 3c2a
b3 3b2c 3bc2 c3
となります。これの係数だけ並べるととなります。
以下、同様にして、
これらを組み立てたものが
です。
パスカルの三角形と同じように、そのでき方から、上の段の隣接する3つの球の数の和が次の段の数になっていきます。たとえば、写真の真中の3つの2の和である6が、次ぎの段、
真中の6になっていきます。この3角錐の側面には、パスカルの三角形が見えてますね。
この3角錐の中には、パスカルの三角形と同じような性質が隠されていると思います。例えば、パスカルの三角形では、第n段の数を横に足し合わせていくと2nとなっています。この三角錐の格段の和を計算してみると
第1段 3
第2段 9
第3段 27
第4段 81
と成っていることが分かりますね。
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