取れたて定理集

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中線定理拡張(2)

中線定理の空間への拡張　　取れたての定理！

　「取れたての定理です」第１巻では、「中線定理」を空間の四面体に対して 拡張して、次の定理を紹介している。

　四面体ＯＡＢＣにおいて、底面の三角形ＡＢＣの重心をＧとすると、
　　　ＯＡ2＋ＯＢ2＋ＯＣ2＝ ＧＡ2＋ＧＢ2＋ＧＣ2＋３ＯＧ2
が成り立つ。

　この定理を、「重心Ｇ」ではなくて、もっと一般の点にしたらどうなるだろうか 考えた。そして、できたのが次の定理である。

新定理


　四面体ＯＡＢＣにおいて、
　　辺ＡＢをｐ：ｑに内分する点をＤ
　　辺ＢＣをｓ：ｔに内分する点をＥ
　　直線ＣＤと直線ＡＥの 交点をＰ
　　直線ＢＰと辺ＣＡの交点をＦ
とする。


　このとき、
　ｑｔＯＡ2＋ｐｔＯＢ2＋ｐｓＯＣ2
＝ｑｔＰＡ2＋ｐｔＰＢ2＋ｐｓＰＣ2 ＋(ｐｓ＋ｐｔ＋ｑｔ)ＯＰ2
が成り立つ。

新定理の証明

　メネラウスの定理より、
　　　ｐ　　　　　ｓ＋ｔ　　　　　　ＥＰ
　　−−　×　−−−　×　−−−　＝　１
　　　ｑ　　　　　　ｔ　　　　　　　ＰＡ
が成り立つから、
　　　ＥＰ：ＰＡ　＝　ｑｔ　：　ｐ(ｓ＋ｔ)
となる。
　 　そこで、三角形ＯＡＥに対して、拡張された中線定理を適用すると、
@　ｑｔＯＡ2＋ｐ(ｓ＋ｔ)ＯＥ2 ＝ｑｔＰＡ2＋ｐ(ｓ＋ｔ)ＰＥ2 ＋(ｐｓ＋ｐｔ＋ｑｔ)ＯＰ2
また、三角形ＯＢＣに対して適用すると、
A　ｔＯＢ2＋ｓＯＣ2 ＝ｔＢＥ2＋ｓＣＥ2 ＋(ｓ＋ｔ)ＯＥ2
さらに、三角形ＰＢＣに対して適用すると、
B　ｔＰＢ2＋ｓＰＣ2 ＝ｔＢＥ2＋ｓＣＥ2 ＋(ｓ＋ｔ)ＰＥ2
Aより、ｐ(ｓ＋ｔ)ＯＥ2＝ｔｐＯＢ2＋ｓｐＯＣ2 −ｔｐＢＥ2−ｓｐＣＥ2
Bより、ｐ(ｓ＋ｔ)ＰＥ2 ＝ｔｐＰＢ2＋ｓｐＰＣ2 −ｔｐＢＥ2−ｓｐＣＥ2
この２つの式を@に代入して整理すると
　ｑｔＯＡ2＋ｐｔＯＢ2＋ｐｓＯＣ2
＝ｑｔＰＡ2＋ｐｔＰＢ2＋ｐｓＰＣ2 ＋(ｐｓ＋ｐｔ＋ｑｔ)ＯＰ2
が成り立つ。

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