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部屋の整理をしていたら、昔の生徒のレポートが出てきた。なんと、最近この「取れたて通信」の掲示板に書き込んでくれている Ryo さんのものであった。私の転勤があったりして、「取れたての定理です」に収録されないままになっていた。面白い内容なので紹介しよう。連分数展開による無理数の近似
ユークリッドの互除法
たとえば、６０と１１２の最大公約数を求める方法として、
１１２ を ６０ で割って 商が １ 余りが ５２ になります。
１１２ ＝ ６０ × １ ＋ ５２
次に、今度は割る数６０を余りの５２で割って、
６０ ＝ ５２ × １ ＋ ８
また、同じように、割る数５２を余りの８で割って
５２ ＝ ８ × ６ ＋ ４
これを繰り返して
８ ＝ ４ × ２ ＋ ０
となる。このように余りが０となったときの割る数４が、最初の６０と１１２の約数になるというものです。
上の計算結果は、次のように変形できる。
１１２ ５２
−−− ＝ １ ＋ −−−
６０ ６０
６０ ８
−−− ＝ １ ＋ −−−
５２ ５２
５２ ４
−−− ＝ ６ ＋ −−−
８ ８
８ ０
−−− ＝ ２ ＋ −−−
４ ４
有理数の連分数展開
上の計算の結果を次のような分数の形で表すことができる。
１１２ １
−−− ＝ １ ＋ ――――――――――――
６０ １
１ ＋ ――――――――
１
６ ＋ ―――
２
このような分数を、より簡単に、
１１２
――― ＝ [１,１,６,２]
６０
と表すことにしよう。すべての分数は、このような連分数展開が可能であり、有限の長さで終了する。
この分数の連分数展開は、例えば「EXCEL」のような表計算ソフトで、簡単に得ることができる。
Ａ ＝ Ｂ × Ｑ ＋ Ｒ
という式の各要素Ａ,Ｂ,Ｑ,Ｒ用にセルを用意して、所定の結果が出るように式を入れて、それを下にずらっとコピーすれば出来上がりである。Ｑのセルを順に上から見ていけばこの展開が得られる。
無理数の連分数展開
この分数の連分数展開のワークシートができたら、分子に無理数を、分母に１を入れてみると面白いことがわかる。
例えば、
ＳＱＲＴ(２) ＝ [１,２,２,２,２,２,２,２,・・・]
ＳＱＲＴ(３) ＝ [１,１,２,１,２,１,２,１,２,１,２・・・]
ＳＱＲＴ(５) ＝ [２,４,４,４,４,４,４,４,・・・]
ＳＱＲＴ(６) ＝ [２,２,４,２,４,２,４,２,４,２,４・・・]
ＳＱＲＴ(７) ＝ [２,１,１,１,４,１,１,１,４,１,１,１,４,・・・]
ＳＱＲＴ(８) ＝ [２,１,４,１,４,１,４,１,４,１,４・・・]
ＳＱＲＴ(１０) ＝ [３,６,６,６,６,６,６,６,・・・]
ＳＱＲＴ(１２) ＝ [３,２,６,２,６,２,６,２,６,２,６・・・]
ＳＱＲＴ(１３) ＝ [３,１,１,１,１,６,１,１,１,１,６・・・]
ＳＱＲＴ(１４) ＝ [３,１,２,１,６,１,２,１,６,１,２・・・]
・・・・・・・・・・・・・・
連分数展開
無理数の連分数展開
ユークリッドの互除法を使って最大公約数を求めるＥｘｃｅｌのシートを作った。
| Ａ1 | ＝ | Ｂ1 | × | Ｑ1 | ＋ | Ｒ1 | ||||
| Ａ2＝Ｂ1, | Ｂ2＝Ｒ1 | として | Ａ2 | ＝ | Ｂ2 | × | Ｑ2 | ＋ | Ｒ2 | |
| Ａ3＝Ｂ2, | Ｂ3＝Ｒ2 | として | Ａ3 | ＝ | Ｂ3 | × | Ｑ3 | ＋ | Ｒ3 | |
| Ａ4＝Ｂ3, | Ｂ4＝Ｒ3 | として | Ａ4 | ＝ | Ｂ4 | × | Ｑ4 | ＋ | Ｒ4 |
このシートによって、Ａ1／Ｂ1＝[Ｑ1,Ｑ2,Ｑ3,Ｑ4,Ｑ4,・・・] という連分数展開が得られる。このＡ1にＳＱＲＴ(ｍ)、Ｂ1には１を入れると、
| Ａ1＝ＳＱＲＴ(ｍ)， | Ｂ1＝１ | として | Ａ1 | ＝ | Ｂ1 | × | Ｑ1 | ＋ | Ｒ1 | |
| Ａ2＝Ｂ1, | Ｂ2＝Ｒ1 | として | Ａ2 | ＝ | Ｂ2 | × | Ｑ2 | ＋ | Ｒ2 | |
| Ａ3＝Ｂ2, | Ｂ3＝Ｒ2 | として | Ａ3 | ＝ | Ｂ3 | × | Ｑ3 | ＋ | Ｒ3 | |
| Ａ4＝Ｂ3, | Ｂ4＝Ｒ3 | として | Ａ4 | ＝ | Ｂ4 | × | Ｑ4 | ＋ | Ｒ4 |
となって、ＳＱＲＴ(ｍ)＝[Ｑ1,Ｑ2,Ｑ3,Ｑ4,Ｑ4,・・・] という連分数展開が得られる。連分数展開が有限の長さで終了するとそれは有理数になる。無理数については連分数展開は無限に続く。
ｍとして、２から順に入れてみると、次のようになる。
ＳＱＲＴ(２) ＝ [１,２,２,２,２,２,２,２,・・・]
ＳＱＲＴ(３) ＝ [１,１,２,１,２,１,２,１,２,１,２・・・]
ＳＱＲＴ(５) ＝ [２,４,４,４,４,４,４,４,・・・]
ＳＱＲＴ(６) ＝ [２,２,４,２,４,２,４,２,４,２,４・・・]
ＳＱＲＴ(７) ＝ [２,１,１,１,４,１,１,１,４,１,１,１,４,・・・]
ＳＱＲＴ(８) ＝ [２,１,４,１,４,１,４,１,４,１,４・・・]
ＳＱＲＴ(１０) ＝ [３,６,６,６,６,６,６,６,・・・]
ＳＱＲＴ(１１) ＝ [３,３,６,３,６,３,６,３,６,３,６・・・]
ＳＱＲＴ(１２) ＝ [３,２,６,２,６,２,６,２,６,２,６・・・]
ＳＱＲＴ(１３) ＝ [３,１,１,１,１,６,１,１,１,１,６・・・]
ＳＱＲＴ(１４) ＝ [３,１,２,１,６,１,２,１,６,１,２・・・]
ＳＱＲＴ(１５) ＝ [３,１,６,１,６,１,６,１,６,１,６・・・]
ＳＱＲＴ(１７) ＝ [４,８,８,８,８,８,８,８,８,８,８・・・]
ＳＱＲＴ(１８) ＝ [４,４,８,４,８,４,８,４,８,４,８・・・]
ＳＱＲＴ(１９) ＝ [４,２,１,３,１,２,８,２,１,３,１,２,８・・・]
ＳＱＲＴ(２０) ＝ [４,２,８,２,８,２,８,２,８,２,８・・・]
ＳＱＲＴ(２１) ＝ [４,１,１,２,１,１,８,１,１,２,１,１,８・・・]
ＳＱＲＴ(２２) ＝ [４,１,２,４,２,１,８,１,２,４,２,１,８・・・]
ＳＱＲＴ(２３) ＝ [４,１,３,１,８,１,３,１,８,１,３,１,８・・・]
ＳＱＲＴ(２４) ＝ [４,１,８,１,８,１,８,１,８,１,８,１,８・・・]
ＳＱＲＴ(２６) ＝ [５,１０,１０,１０,１０,１０,１０,・・・]
ＳＱＲＴ(２７) ＝ [５,５,１０,５,１０,５,１０,５,１０・・・]
ＳＱＲＴ(２８) ＝ [５,３,２,３,１０,３,２,３,１０・・・]
ＳＱＲＴ(２９) ＝ [５,２,１,１,２,１０,２,１,１,２,１０・・・]
ＳＱＲＴ(３０) ＝ [５,２,１０,２,１０,２,１０,２,１０・・・]
無理数の連分数展開に見られる法則
定理１
ＳＱＲＴ(Ｋ2＋１)＝[Ｋ,２Ｋ,２Ｋ,２Ｋ,・・・]
定理２
ＳＱＲＴ(Ｋ2＋２)＝[Ｋ,Ｋ,２Ｋ,Ｋ,２Ｋ,Ｋ,２Ｋ・・・]
定理３
Ｋ＝３Ｌのとき、
ＳＱＲＴ(Ｋ2＋３)＝[Ｋ,２Ｋ／３,２Ｋ,２Ｋ／３,２Ｋ,２Ｋ／３,２Ｋ・・・]
定理４
Ｋ＝２Ｌのとき、
ＳＱＲＴ(Ｋ2＋４)＝[Ｋ,Ｋ／２,２Ｋ,Ｋ／２,２Ｋ,Ｋ／２,２Ｋ・・・]
証明
もちろん、これらの定理は証明できる。証明はやさしいので、みなさんやってみてください。
円周率 π の連分数展開
π ＝ [ ３,７,１５,１,２９２,１,１,１,２,１,３,１,１４,２,１,１,２,２,２,２,１,８９,２,１,１,１５,３,１３,１,４,２,６,６,１,・・・ ]
そういえば、[ ３,７ ] ＝２２／７ だから、πの近似値として、２２／７を使われてきたのも、なるほどとうなずける。
自然対数の底 ｅ の連分数展開
ｅ ＝ [ ２,１,２,１,１,４,１,１,６,１,１,８,１,１,１０,１,１,１２,・・・ ]
ｅの連分数展開には規則性があるのが面白い。
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