〈バビロニアの６０進法を使って〉　　　　　

＊６０進法のおさらい＊

　　　　　　１を６０個集めたものを１単位とするもの。繰り上がる時は６０集めて上の位に、繰り下がる時は１つが６０になって降りてきます。

　　　【例】６０秒で１分、６０分で１時間と思えばいいのです。

 

問題１　　石畳の模様を見て、ある正方形の対角線を１辺とする正方形の面積は、もとの正方形の２倍になっていることを説明してみましょう！

 

＊めい＊　ある正方形の１辺を１とすると、その正方形の面積は１である。その正方形の対角線は√２になる。その対角線を１辺として正方形を作ると、１辺が√２の正方形できる。

　　　　√２×√２＝２になるので、この面積は、もとの面積の２倍である。

 

＊チャーリーズエンジェル＊　

正方形ＡＢＣＤの１辺の長さを１とするとピタゴラスの定理により、対角線ＡＣの長さは√２になる。

よって、正方形ＡＣＥＦの面積は√２×√２＝２！

したがって、もとの正方形ＡＢＣＤの面積は２倍になっていることがわかる。

 

＊キューブ＆現代の匠＊

　　　　正方形ＡＢＣＤの１辺ＡＢの長さを１とすると対角線ＡＣの長さは√２になる。縦×横で√２×√２＝２になって２倍になる。

先生のおことば

　　　　君たちは√２を知っているし、ピタゴラスの定理を知っているので、正形

の対角線が√２の長さを持っていることを知っていて、その知識をもとに説明しています。

　　　　ところがピタゴラスが登場するのは、バビロニアの粘土板の時代よりもずっと後になります。今から４０００年前のバビロニアでもピタゴラスの定理が知られていた可能性も無いとは言えませんが……。そのことの真意はともかく、石畳としてはポピュラーなこの図を見ていると、とりあえず、正方形の対角を１辺とする正方形が面積２倍になることは納得がいきますね。

＊バビロニアの粘土板とは……１辺が３０の正方形の対角線の長さを求めている

粘土板。

こたえ　　　図で正方形ＡＢＣＤの中には、斜線を引いた三角形が４個入っている。一方、この正方形の対角線を１辺とする正方形ＡＢＣＤの中には、傾斜を引いた三角形が８こ入っていることから、斜辺を１辺とする三角形の面積は、もとの正方形の２倍の面積になっていることがわかります。

　　　　　　　本当は、この「対角線の長さ」が「２乗すると２になる数」なのですね。　　　

 

問題２　縦の長さが１．５で、面積が２になるような長方形の横の長さを求めてみましょう！

　

＊めい＊　縦の長さが１．５で面積が２になるような長方形を考えるとき、

横の長さをｙとおくと

　　　　　　１．５×ｙ＝２だから、ｙ＝２÷１．５となり、

１．３３３…となった。　　

＊チャーリーズエンジェル＊

　　　　　問い１を考えてみると、√２は１よりも大きく、２よりも小さい　　　　　　　（１．４１４…）から。

　　　　　次に、縦の長さが１．５で、面積が２になるような長方形の長さは…

　　　　　縦の長さをｘとすると、ｘ×１．５＝２

　　　　　これを計算してみると、

　　　　　　　　ｘ＝１．３３３３３３３３３３３３３３…………

　　　　　となる。

＊キューブ＆現代の匠＊

　　　　　縦の長さが１．５、面積が２になる長方形は

　　　　　　（普通に計算しちゃだめですか……。）

　　　　　　【計算式】　　１．５×ｘ＝２より

　　　　　　　　　　　　　ｘ＝１．３３３３３…

　　　　　　　　　　　　　１．５×１．３＝１．９５

 

問２を利用して正方形に近い長方形を考えよう！

 

＊めい＊　面積が２に近い長方形は、問２から考えると、

　　　　　　　　１．６×１．２＝１．９２

　　　　　　　　１．７×１．１＝１．８７

　　　　　　　　１．８×１　　＝１．８

　　　　　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　　　　　　　　・　

　　　　　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　となり、１番近いのは、１．９２である。

　　　　　また、　　１．４×１．４＝１．９６

１．３×１．５＝１．９５

　　　　　　となり、全部の中で１番近いのは　１．９６だった。

 

　＊チャーリーズエンジェル＊

　　　　　　地道に計算した。その結果、１番やった中で近かったのは

１．４１３９９×１．４１３９８＝１．９９９３５８０２

　　　　　　　になった。目に見えない世界だった。。。

　

＊キューブ＆現代の匠＊

　　　　　縦が１．５で横が１．３だから、長さを１．４にすれば正方形になる。

１．４×１．４＝１．９６（さっきより近くなった）

　適当に計算してみました。

１．３５×１．４５＝１．９５７５

１．３９×１．４１＝１．９５９９

　

……。意味の無いことやってる気がする…。

 

 

【６０進法を使って考えてみよう！】

　　　（６０進法については１番始めに説明してあります）

　　　

＊　正方形の対角線の長さの計算を６０進法を使って計算してみよう！＊

　

�@    見積もってみる。

　　　　面積が２の正方形の１辺の長さは、１より大きく２より小さくなります。縦の長さを１とするとき、面積が２になると見積もってみます。

 

�A    平均をとってみる。　　

　　　　より正方形に近づけるために、縦の長さ１と横の長さ２の平均をとります。そこで、１と２を加えて３。これを２で割ります。　　　　　　　

　　　　　　　　（６０進法である事に注意しましょう）

　　　　　　　（１＋２）÷２＝１．５　

６０進法で考えると１：３０

 

　　　　　　　この１：３０を縦と考えて、横の長さを求めてみると、

　　　　　　　　２÷１：３０＝１：２０　

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　縦＝１：３０　横＝１：２０　　　　　　　　

 

�B    また平均をとってみる。

縦の長さ１：３０と横の長さ１：２０の平均をとると、より近い値が出るような気がします。

　　　　　　　　　平均をとってみると　

（１：３０＋１：２０）÷２＝１：２５　になる。　

　　　　

　１：２５を縦と考えて、横の長さを求めてみると、

　　　　　　２÷１：２５＝１：２４：４２：２１：１０　となる。

　　　　　　　　

　　　縦＝１：２５　横＝１：２４：４２：２１：１０

�C    またまた平均をとってみる。

　　　　縦の長さ１：２５と横の長さ１：２４：４２：２１：１０の平均をとって、より正三角形に近づけましょう。

　　　　　平均をとると、

　　　　　　（１：２５＋１：２４：４２：２１：１０）÷２＝

１：２４：５１：１０：３５

　　　　　となりました。

バビロニアの粘土板に彫られていた数字も

１：２４：５１：１０　です！

 

感想　

　＊チャーリーズエンジェル＊

　　　　　はじめはよく分からなくて落ち込んだけれど、分かったとたんに６０進法の計算が楽しくなった。

　　　　　６０進法の計算方法を理解する事ができたので、この授業に出てよかっ

たと思いました。

　

＊さつきちゃん＊

　　　　結局、昔は、計算の方法だけ練習して、どうしてそうすると計算できるのか理解しないままきたんだ。６０進法の計算ができなかったのがすごく悔しい。