1 ある日の昼下がり

円に内接する三角形 ABC  の一つの頂点 A  を、その外接円の周上を動かすときの三角形  ABC  の面積の最大値を求める問題があって、答えは分かり切っているけれども、 Geometric Constructor を用いて作図をしてみていた。

あまりにもつまらない問題なので、他に何かないものかと内心 I  を書き入れてみる。図を描い たときに不覚にも内心 I  を外心 O  とまちがって、 BIC = 120o  と書き入れてしまっ た。

Geometric Constructor では、「内心を取る」というコマンドがある。そうして、点 A  をマ ウスで動かしてみる。

円の中心、すなわち三角形 ABC  の外心 O  は固定されている中で、点 I  は点 A  を動か すにつれて動いていく。 BIC = 120o  と書き入れたのは間違いであることに気付くと同時 に、それでも BIC = 120o  は常になりたっていることが、 Geometric Constructor の測定機 能を用いるとわかった。

三角形 ABC  の２点 B, C  が固定されていて、点 A  が円周上を動いたとき、三角形の 内心は円弧を描くというのは、いかにもありそうであり、そうであれば、内心だけではなく て、５心がそうであることが予想される。そこで、ひとつひとつ確かめてみることにし た。

2 三角形の内心と各頂点を結ぶ線分でできる角度について

三角形 ABC  の内心を I  とするとき、次が成り立つ。

円 O  に内接する三角形 ABC  を考える。円 O  上に B, C  以外の任意の点 A'  に 対して、三角形 A'BC  の内心 I'  をとると、次が成り立つ。

円 O  上の２定点 B, C  と、円 A  が円 O  の周上を動くとき、三角形 ABC  の内 心 I  は一つの定円上を動く。

3 三角形の傍心と各頂点を結ぶ線分でできる角度について

三角形 ABC  の辺 BC  の外側にできる傍心を J  とするとき、次が成り立 つ。

三角形の内角の和が 180o  となることから、

これから、

となる。これから、

円 O  上の２定点 B, C  と、円 A  が円 O  の周上を動くとき、三角形 ABC  の内 心 I  と辺 BC  の外側にできる傍心 J  は一つの定円上を動く。

4 三角形の垂心と各頂点を結ぶ線分でできる角度について

三角形 ABC  の垂心を H  とするとき、次が成り立つ。

図で、四角形 AFHE  は、 F = E = 90o  により、ある円に内接する四角形である。し たがって、

となる。したがってこのとき、

円 O  上の２定点 B, C  と、円 A  が円 O  の周上を動くとき、三角形 ABC  の垂 心 H  は一つの定円上を動く。

5 三角形の外心と各頂点を結ぶ線分でできる角度について

三角形 ABC  の外心を O  とするとき、次が成り立つ。

三角形の外接円を考えると、 BAC  は弧 BC  の上に立つ円周角であり、 BOC  はそ の中心角になるので、

となる。

6 三角形の重心と各頂点を結ぶ線分でできる角度について

三角形 ABC  の外心を O 、外接円の半径を R  とする。点 A  が外接円上を動くとき、 三角形 ABC  の重心 G  は、三角形 OBC  の重心 G'  を中心とする半径   の円周上を 動く。

  = ,  = ,  = ,  =   とする。

したがって、当然のことながら、点 A  が動くとき BGC  も変化する。