１０月１９日（土）にもたれたサークルの様子をお知らせします。
●３次方程式の解法 金濱千明（盛岡第一高校）
高校１年「数と式」の演習で登場する因数分解の公式
についてaをＸに置き換えて整理すると
……①
この式を利用して３次方程式
……②を解いてみよう。
① の左辺と比較して
すなわち 
よって、
は２次方程式
の解である。
なので、２数b,cは、
となる。従って②の左辺は、
と因数分解され、方程式の解は
となる。
●
の仲間たち 下河原 英（軽米高校）
とする。0Aをｎ等分してできる点を原点に近い方から
とし、同様に
として線分
を引いていくと曲線が現れる。この曲線は何だろうか？そのためには包絡線についての知識が必要である。
曲線族
に対し
を満たす曲線
は
の包絡線である。上の線分は
……①
……②
●大学数学の架け橋：部分積分とテーラー展開 下町壽男（盛岡第三高校）
まず、微積分学の基本定理：
……①
また、
とみなして部分積分を実行する。ただし、１の不定積分を
とすると（積分定数を
とする！）
……②
……③
ここで、具体的に
でやってみよう。ただし、剰余項は無視することにする。
●ケプラーの方法 宮本次郎（花巻北高校）
ティコブラーエの観測データを用いてケプラーは地球と火星の公転の軌道を調べたことは有名です。正弦定理を利用して、比較的簡単に「地球の公転はほぼ円軌道とみなしてよいが、火星は楕円軌道である」ことが追体験できます。
地球の公転周期は365日、火星の公転周期は678日であることは既にわかっています。また、地球からみた太陽の方向と火星の方向はティコのデータによって与えられています。
太陽Ｓと地球Ｅと火星Ｍが一直線に並ぶ「衝」のから678日後の太陽と火星の方向のデータとさらに678日後のデータから次のことがわかります。
図のθとφはデータからわかりますので、正弦定理により
となるので 
がわかります。さらに678日後のデータから同様に
このようにして地球軌道上の点
が決まると、地球の軌道と運行速度がＳＭを基準としたものとして計算されます。このことから、地球の軌道は円とみなしてよいことが導かれます。
●負の長さ・角度・面積・体積 宮本次郎（花巻北高校）
初等幾何の定理の中で通常は逆が成り立たない場合にも、負の長さを考えることによって、逆も成り立つようにすることができます。例えば、「方べきの定理」では、点Ａを通る２つの直線上に２点Ｐ、ＱおよびＲ、Ｓがあるとき
『Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓが同一円周上にある⇒AP・ＡＱ＝ＡＲ・ＡＳ』
この定理の逆は成り立たない。各図で、円上にある点Ｐに対して、点Ａに関して対称点Ｐ’をとると、この点に関しても関係式は成り立っているのにもかかわらず、この４点は同一円周上にない。
しかし、線分ＡＰ、ＡＱ、ＡＲ、ＡＳに向きを考え負の長さを許容すれば、
点Ａが円の内部にあるときは、ＡＰ・ＡＱ＜０、ＡＲ・ＡＳ＜０
点Ａが円の外部にあるときは、ＡＰ・ＡＱ＞０、ＡＲ・ＡＳ＞０
となり逆も成り立つ。
同様のことは、比例線定理やメネラウスの定理・チェバの定理についてもいえる。また、負の角を許容すれば、円周角の定理についても劣弧、優弧にかかわらず統一的に捉えることができる。さらに、負の面積や負の体積を許容すれば、原点Ｏと点Ａ、Ｂに対してＯＡ，ＯＢを２辺とする平行四辺形の面積を求める式や原点Ｏと空間の点Ａ、Ｂ、Ｃに対してＯＡ、ＯＢ、ＯＣを３辺とする平行６面体の体積を求める式が統一的に書くことができる。
この負の長さ、面積、体積は数学教育で実に大切な役割をはたすと思われる。
●立方体倍積問題と折り紙 伊藤潤一（平舘高校）
折り紙による作図法は、定規とコンパスによる作図のできないタイプの作図も可能であることは以前から知られていた。
立方体倍積問題の折り紙による解法を紹介しよう。
まず、正方形を３等分する。
上の図において、
とすると、
で、直角三角形
に着目し、
と
は相似であることから
すなわち 
が得られる。つまり、
となるのである。
