１２月例会の話題から

 

　１２月１４日（土）にもたれたサークルの様子をお知らせします。

●仙台二高生への授業でやれなかったことについて　　　　　　　　　　下町壽男（盛岡三高）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　１　リュカ数「しもまっち数列」

　漸化式を満たす数列を「フィボナッチ型数列」と呼ぶことにする。のときは、「フィボナッチ数列」になる。

　では、としたときの一般項は、

　ただし　

となり。この数列をリュカ数という。

　フィボナッチ型数列は、和も実数倍もまたフィボナッチ型数列になるので

「フィボナッチ型数列はベクトル空間をなす」

といえます。さて、

フィボナッチ数列　

リュカ数　　　

として、

とすれば、これはフィボナッチ型数列の１次結合なのでもまたフィボナッチ型数列となりますが、また公比βの等比数列でもあります。

このを「しもまっち数列」と命名したい。

具体的には、

　２　フィボナッチ数とユークリッドの互除法

　フィボナッチ数列の隣り合う２項を考える。例えば、55と89とする。この２数の最大公約数は何でしょうか？

ユークリッドの互除法から

つまり、

「フィボナッチ数列の隣り合う２項は互いに素」

ということになる。リュカ数も同様の性質があり、これらの性質は素数判定などに応用されているという話です。

　３　パスカルの三角形と２項定理

　２項係数を生成する多項式（母関数）を考える。例えば

とすると、

が成り立ちます。一般に、パスカルの三角形のｎ段の母関数をとすると、

なので、は初項１、公比1+xの等比数列で

であることがわかりました。つまり、２項係数になっていることがわかった。

　４　パスカルの三角形の横の数列の和

　盛岡三高生が行ったユニークな証明。ｎ人のじゃんけんで勝負がつく場合の数を考える。

　�T：誰が勝つか何で勝つか考えると

　�U：「ケン」が２種類なら勝負がつく

�Tと�Uは等しいことより

が得られる。

（※　じゃんけんの正式名称は「石拳」といい室町時代に中国より伝わったとされる）

　５　付録：コラッツの予想解決か？

　「正の整数ｎをとり、奇数なら３倍して１を加える。偶数なら２で割る。これを繰り返すと必ず１になる」というコラッツの予想が日本人により解決されたということがネット上で話題になっているらしい。この証明を下町先生が手に入れたが、チェックが困難とのこと。我ぞと思う人は連絡を！

 

●ニュートンの考えたこと　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宮本次郎（花巻北高校）

　「ファインマン力学を語る」（岩波、グッドスティーン著）に、初等幾何をつかって「惑星が楕円を描く」ことを示す内容がある。

　１　ケプラーがやったこと

　　ケプラーの第３法則：惑星の周期は、惑星の軌道である楕円の長軸の乗に比例している。

　２　ニュートンが発見したこと　その１

　　軌道が半径Ｒの円の場合を考える。そうすると運動は、次のような正多角形によって近似される。また、速度も図のような正多角形で表される。多角形を無限に分割して円に近づけると、速度図は半径ｖの円になる。

　惑星の周期をＴとすると、速度ｖは、

………�@

となる。速度図の方のｖのスピードも同様に周期Ｔで一周するので

………�A

と考えられる。

　ニュートンの運動方程式より

この式に�@、�Aを代入し

さらに、ケプラーの第３法則のを代入すると

すなわち、「逆２乗則」が導かれた。

　３　ニュートンが発見したこと　その２

　惑星が単位時間に点Ａから点Ｂに動いたとする。そのまま運動を続けると、次の単位時間には点ｃに達する。ところが、太陽からの力を受けると力の平行四辺形の法則により、点Ｃに動く。三角形の等積変形により

となる。これが「面積速度一定の法則」の原型である。

　４　ニュートンが発見したこと　その３

　惑星が運動する軌道がある閉曲線であるとすると、面積速度一定の法則からその速度図は図のような円になる。

　速度図上で、原点Ｏから点pに引いた線は、軌道図上の点Ｐにおける接線に平行であり、そして、∠ｊＣｐは、軌道図上の角∠ＪＳＰと同じ大きさである。次に、速度図の方向を時計回りに90°回転して、２つの図を重ねてみよう。このとき

（１）Ｏｐ⊥Ｐｔ　　　　　（２）点ｔはＯＰの中点

という条件で角θを動かしたとき、直線Ｐｔはある楕円の接線になっている。すなわち、この楕円は接線Ｏｔの包絡線になっているのである。

　これで、所期の目的であった「惑星が楕円を描く」ことが説明できた。

 

 

 

 

 

 

 

 

●置換積分を目で見よう　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　伊藤潤一（平舘高校）

　１２月に６人の生徒を相手に数学�Vでの置換積分の授業したときの内容の紹介。

定積分を考えよう。これをと置換してみると。

　より　　すなわち　　よって

　

　ｘ　　０　→　１　　　　この定積分の値Ｉは下図左の網掛けの面積になる。

　　　　　　　　　　　　　この２つの図を比較すると、置換した方は、ｘ軸方向に−２だけ平行移

　ｔ　　０　→　２　　　　動し、さらにｘ軸方向に２倍に拡大し、ｙ軸方向にに縮小していることがわかります。よって、この２つの面積は等しくなることがわかります。

このようして、被積分関数がのときの定積分

では、と置換することによって、積分する区間はからにかわり、区間の幅はｋ倍に拡大（縮小）する。

また、と置換することによって、被積分関数は、からにかわり、関数の値は倍に縮小（拡大）する。積分の区間はｋ倍になり、一方、被積分関数の値は倍になるので定積分の値は不変になるのである。

　では、被積分関数がのときはどう考えたらよういだろうか？そのためには、定積分の定義すなわちリーマン積分（区分求積法）に立ち返って考察しなければならない。

　定積分を区分求積法で考えよう。積分の区間を10等分し、ｘ軸上に11個の分点を作る。それに対応する被積分関数の値で長方形をつくり、その和を計算し、この定積分の近似値を求める。当然、等分する数が大きくなるほど近似値の程度は良くなる。

　次に、上の定積分をと置換したを区分求積法で考えよう。置換で決まるの11個の分点を作る。それに対応する被積分関数の値で長方形をつくり、その和を計算し、この定積分の近似値を求める。これも当然、等分する数が大きくなるほど近似値の程度は良くなる。

　ところで、上で作られた長方形とそれを置換して作られた長方形を比較すると、全ての対応する長方形について

長方形の横が２倍、縦が

であるので。

よって

これから、２つの定積分の値は等しいことがわかる。