３月例会の話題から

 

　３月８日（土）にもたれたサークルの様子をお知らせします。

●正多角形を並べる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宮本次郎（花巻北高校）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　正五角形を並べていくと図のように１０個でぐるりと１回転して戻ってくる。また、正七角形では図のように３回転して１４個で下に戻ってくることがわかる。では、一般に正ｎ角形の場合でも同様なことがおこるのだろうか？

　実は、との最大公約数をｄとするとき、正ｎ角形を個つなぎあわせていくと最初に戻ってくることが証明できる。宮本さんは、複素数平面の１のｎ乗根を使って見事に証明した。

 

●正七角形の対角線の長さをめぐる７つのメールと７つの初等幾何による証明　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宮本次郎（花巻北高校）

　２月１日のサークルでに亀掛川君が持ち込んだ問題

『正７角形の辺ａと第１対角線ｂ、第２対角線ｃとのあいだに、

が成り立つ』をめぐっての増島・宮本・下町・下河原・伊藤・亀掛川の７つの証明ができあがる過程を実況中継的にまとめたもの。Ｅメールでのやり取りが克明に紹介されていて、とても面白い。

　はじめ数学教室の「こそあど」の欄に投稿したところ、長すぎるので「実践報告」に「昇格？」したとのこと。

●トレミーの定理は幾何の定理の親分だ！　　　　　　　　　　　　　　下町壽男（盛岡三高）

　１　トレミーの定理

　この定理は、円に内接する四角形において『対辺の積の和＝対角線の積』が成り立つというもの。

すなわち、

　２　トレミーの定理はピタゴラスの定理を含む

　長方形は必ず円に内接する。

　トレミーの定理よりただちに

 

 

　３　トレミーの定理で黄金比をだす

　正五角形の一辺を１、対角線をaとすると図の四角形ABCDにおいてトレミーの定理より

 

 

　４　トレミーの定理で加法定理をだす

　図において、正弦定理より

　トレミーの定理より

　つまり、（正弦定理）＋（トレミーの定理）＝（加法定理）

 

　５　正七角形の辺の比

　四角形ABCDにおいてトレミーの定理を用いて

 

●Ｋ君との数学談義　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 下町壽男（盛岡三高）

　このシリーズもベクトル解析に入り絶好調！ページ数もなんと１４５ページに達しました。嬉しいことにこの談義をまとめて製本するということです。高校から大学への渡り教材としてユニークな本が誕生しそうです。

　さて、面積分の具体例として回転体の表面積を取り扱います。その基礎は円錐台の側面積にあります。円錐台の側面積Ｓは母線の長さｌ、その母線の移動距離がですので、パップス・ギュルダンの定理よりとなります。よって、

　ここで　

ここで、として、ｄＳとｄｘの関係式を作ると、

とできますから、表面積は

 

と求まります。回転体の表面積は、数学�Vの自然な発展としてすぐ導けるので、挑戦したい教材でもあります。

 

 

●東北大学の入試問題をめぐって　　　　　　　　　　　　　　　　　亀掛川君（盛岡三高３年）

　今年度の東北大の２次に次のような問題がでた。

「のとき、をｔの式で表せ」

（解の１）

これより、

（解の２）

とすると、

であるから、

ここで　　より

予備校の模範解をみると河合塾、代々木、養賢は解の１（とにかく力業！）、駿台だけが解の２（変数変換の妙でややスマート）であった。受験生の大半は解の１の方針をとり力つきたようである。

（解の３：亀掛川）

より

したがって

ここで、サインの３倍角の公式より

　アークサインを使って見通しよく解いています。さすが！

 

●Excel で小数と Fibonacci の色塗り　　　　　　　　　　　　　　　　下河原　英（軽米高校）

　前回に引き続きエクセルの表に小数を螺旋状に配置して１０色で色づけする話題。今回はそのマクロの公開である。

　また同じことをフィボナッチ数列の下１桁と下２桁の周期について調べて色塗りをした。

　下１桁の周期は、

1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0

の６０である。また、下２桁の周期は

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,44,33,…

の３００であることを、Mathmaticaで確認したという。次に色塗りはエクセルは５６色しか使えないので０から９９までの１００色は用意できない。そこで残りの４４色はまた同じ色を使って色塗りをしたら…。とても綺麗な模様が現れ、周期３００であることも確認できる。

　亀掛川君によると、下３桁の周期は１５００であるらしい。ということになるとフィボナッチ数列の多分下ｋ桁の周期は

になるらしい。

　これは、数列の下ｋ桁の周期が

という結果とよく符合している。うまい証明がありそうである。

 

 

 

 

 

●ＰＩＣの内部構造　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宮本次郎（花巻北高校）

　ＰＩＣマイコンと呼ばれるワンチップマイコンをについての紹介です。今回は、このＰＩＣを使って発光ダイオード（ＬＥＤ）を発行する機能を持たせる制御プログラムの説明です。

　　　ＬＩＳＴ　Ｐ＝１６Ｆ８４

　　　ＣＬＲＦ　６　　　　　６番地のメモリを０に初期化せよ

　　　ＢＳＦ　　３，５　　　データメモリ領域３番地の５bit目を１にせよ

　　　ＣＬＲＦ　Ｈ‘８６’　１６進数の８６番地のメモリを０にクリアせよ

　　　ＢＣＦ　　３，５　　　データメモリ領域３番地の５bit目を０にせよ

　　　ＢＳＦ　　６，０　　　データメモリ領域６番地の０bit目を１にせよ

　　　ＮＯＰ

　　　ＥＮＤ
　これでＬＥＤが点灯するらしい。（♪なんでだろーなんでだろー）

　次回は「Ｗレジスタ」を使う制御プログラムを説明するとか。楽しみですね（苦しいですねー）