杜陵サークル2003年４月例会報告

’03杜陵サークル４月例会の報告

１　日　 時　４月５日（土）ｐｍ４：００〜７：００

２　場　 所　岩手大学教育学部小宮山研究室（４０７号）

　　　　　　 tel 019-621-6539 fax 019-621-6543

３　サークル例会 実践レポート発表・検討

　　　　　　 数学雑談

インフォメーション

● ４月１２日（土）のＩＢＣの「じゃじゃじゃTV（ティービー）」で中村潤先生の「黄金比の歌」が取り上げられました。サークルの様子も一瞬放映されました。このビデオをＣＤに焼いて配りたいと下河原先生がいっていたので、ひょっとするとサークルでもらえるかも？

● ５月１０日（土）、１１日（土）と東北民教研中間集会が八戸市よねくらホテルで開かれます。東北地区協事務局によると、今年度から東北地区協の合宿研究会はやめて、その役割を東北民教研中間集会ではたすことにするそうです。今のところ伊藤先生、木下先生、下河原先生の３人が参加するということがわかっています。

● 今年度のＡＭＩ東北の研究大会は、１１月２９日（土）３０日（日）岩手で開催される予定です。岩手大学と国保会館を会場にして、小学校１、中学校１、高校１の授業を実現する方向で調整中です。また、講演と授業者の人選中です。お勧めの人・希望の人がいたら紹介ください。

● 同じく今年度の８月９日から１１日まで北海道大学でもたれるＡＭＩの全国大会で杜陵サークルが分科会「解析幾何とベクトル」を引き受けることになりました。メインレポーターは下町先生、サブレポーターに下河原先生が引き受けることになりました。また、大会とその後の北海道の夏を満喫するオプショナルツアーのメンバーを募集しています。

● 下町先生が昨年度盛岡三高で発行し続けた「Ｋ君との数学談義」のプリントをまとめて『入魂の数ⅢＣ〜Simomacci Presents〜』という本にまとめました。なんと１４５ページもの大作で、高校数学から大学数学への橋渡し教材とでもいえるものです。宣伝して多くの先生届けたいですね。ちなみに値段は1000円です。

● 絶好調の宮本先生と下町先生のホームページ。宮本先生のホームページの中に杜陵サークルのコーナーがあります。皆さんのぞいてみよう。

　　　下町先生のHP　　http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/

　　　　宮本先生のHP　　http://homepage1.nifty.com./toretate/

４月例会の話題から

　４月５日（土）にもたれたサークルの様子をお知らせします。

●Fibonacci数列の下２桁の周期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下河原　英（軽米高校）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　Fibonacci数列の第ｎ項をとする。すなわち、

である。

とすると

となる。どうやら

となるらしい。（遠山啓著「初等整数論」を参考にした）

よって

…………①

同様にして

…………②

①、②より

………③

が成り立つ。さて、

　より　

よって

より

また

となるので、フィボナッチ数列の下２桁の周期は300であることがわかる。

●フラクタル図形を描く　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小倉久恵（盛岡第四高校）

　フラクタル図形をパソコンでまともに描こうとすると、再帰の回数が増えるたびに爆発的にメモリーを食いアッという間にハングアップしてしまう。そこで、複数のアファイン変換をランダムに選択して点をプロットしていく実にうまい方法がある。（このサークルの発表まで、このアイデアが下町先生のオリジナルアイデアであることを小倉女史は知らなかったという。「灯台もと暗し」ということか？）

　例えば「シェルピンスキーのギャスケット」は、次の３つのアファイン変換を用意します。

…………①

………②

………③

適当な初期の点を決めて、乱数を発生させ①、②、③のどれかを選択し、点をプロットする。ここでまた乱数を発生させ①、②、③のどれかを選択し、点をプロットしこのことを繰り返すと、なんと不思議なことに「シェルピンスキーのギャスケット」が描かれるというのである。

同様にして「コッホ曲線」「高木関数」などいろいろなフラクタル図形が描けます。

●入魂の数ⅢＣ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下町壽男（盛岡三高）

　この冊子は、2001〜2002年にかけて、数学ⅢＣの授業を行ったときに配布したプリント及び、授業や課外活動での数学ⅢＣに関わる話題を紹介したものです。内容は次の４分野になっています。

　１　大学数学のかけ橋

　　　　行列の話　行列のｎ乗の話　から　一次近似の話　　など

　２　入魂の朝課外

　　　　縦糸・横糸・うちわ型　2002東大後期の問題に挑戦　ハミルトン・ケーリーの定理　など

　３　バカテク講座

　　　　分数関数の極地を求める　サインは一山２　円の一様拡大における楕円の面積　など

　４　Ｋ君との数学談義

　　　　全微分可能とは　ロピタルの定理　テーラー展開を利用して　ヤコービアンとは　など

　この冊子は、数学をもっと深く勉強したい高校生、これから数ⅢＣを担当することになった若き数学教師、高校数学をもう一回復習したい大学生、などなどの方々に贈るものだそうです。

　ところどころに下町先生のオリジナルな知性が光る読み応えのある冊子になっています。サークル会員には必読の１冊でしょう。

●アポロニウスの円の応用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　伊藤潤一（平舘高校）

　アポロニウス円のいろいろな応用場面を考えよう。

　１　野球の守備

　野球のグランドでＳ君は図のような位置にいる。打球の速さがＳ君の最速の移動距離の３倍として、Ｓ君の守備範囲を求めよ。

　Ｓ君が全速で走り、地点Ｐで打球に追いついたとすると、

ＨＰ：ＳＰ＝３：１

となる。

　これは２定点Ｈ、Ｐからの距離の比が一定であるような動点Ｐの軌跡を求める問題になるので、解はアポロニウスの円になる。

　これより、Ｓ君の守備範囲は図のような円の内部になる。

　２　砂漠で迷ったら

　Ｒ君の車は、砂漠を直進する国道１号線で故障してしまった。ＧＰＳ装置が故障したため位置がわからず連絡がとれない。しかし、近くに円柱状の石油のＡ号タンクとＢ号タンクがなんと全く同じ太さで見えるのである。Ｒ君は、偶然にもＡ号タンクとＢ号タンクの直径は１：２であることを知っていた。

　同じ太さに見えるということは、

ＡＲ：ＢＲがＡタンクとＢタンクの半径の比に等しいことを意味する。よって、地点Ｒは

ＡＲ：ＢＲ＝１：２

となるアポロニウスの円上にある。

　よって、地点Ｒは、国道１号線を表す直線ｌとこの円の交点が求める点である。この点は２つあるので、∠ＡＲＢを考慮してどちらかに絞ればよい。

　３　引力圏

　月は地球の引力圏に閉じこめられている。だから、地球から逃れられないで回りをグルグル回っているのである。しかし、小さいながら月自体の引力圏ももっているはずである。この月の引力圏を求めてみよう。地球とロケットそれに月とロケットの万有引力の式は次の通りである。ただし、Ｅは地球の質量、Ｍは月の質量，ｍはロケットの質量とし、を地球とロケットとの距離、を月とロケットとの距離とし、Ｇを万有引力定数とすると、月の引力圏の境目では、引力は拮抗するはずなので、