’04杜陵サークル９月例会の案内

　

朝夕の涼しさはあの猛暑の夏が懐かしく思えるほどです。すでに山の上では紅葉が始まっています。サークル会員の皆様この初秋をいかがおすごしでしょうか。さて、杜陵サークルの９月例会を次の日程でもちます。９月２３日（木）の岩手大学の数学公開講座の直後で、ちょっと苦しいでしょうがよろしくお願いします。なお、例会終了後にいつもの月見亭で“初秋を愛でる会”をもつ予定ですので、こちらの参加もよろしくお願いします。

記

１　日　     時　９月２５日（金）ｐｍ４：００から７：３０まで

２　場　     所　岩手大学教育学部小宮山研究室（４０７号）

　　　　　    　 tel 019-621-6539  fax 019-621-6543

３　サークル例会  実践レポート発表・検討、教具作り& 数学雑談

 

インフォメーション

 

● ９月１１日（土）〜１２日（日）仙台市で宮城県ＡＭＩの研究会がもたれます。北海道大学の須田先生の講演をメインに小・中・高の授業講座もたれ、下町先生が講師として参加しました。しかし肝心の宮城県内の高校の出席者が少なく“がっかり！”だったようです。サークルで顛末が聞けるかも？

● ９月１６日（木）〜１７日（金）釜石のホテルシーガリアマリンで県高教研数学部会の研究大会もたれました。サークルから金濱先生が「射影の数学」の発表、宮本先生が事務局で裏方の仕事をしました。多分今回のサークルその様子が聞けると思います。

● ９月２３日（木）１３：００〜１６：３０岩手大学人文社会学部１号館第１会議室で岩手大学公開講座「数学の美しさを体験しよう」があります。内容は、「数学を学ぶのはなぜか」（人社　大西先生）、論理パズル入門（教育　押切先生）の興味ある講演です。当日参加歓迎のようですので、生徒を誘って参加してみませんか。

● ９月から１０月は高教組の支部教研の“季節”です。各支部での数学分科会を積極的に盛り上げて１１月１３日（土）〜１４日（日）の教科別県教研につなげていきたいものです。

● ２００６年のＡＭＩ全国大会実行委員会の通信「ネコ仙人のつぶやき」が創刊されました。皆さんご協力で是非この通信を育てようではありませんか。合わせて“実行委員会へのお誘い”を近々送るつもりです。

● 待望の盛岡地域の中学校サークル「すうたく」（数学開拓という意味なのだそうです）が旗揚げしました。第一回は８月２７日（金）滝沢村東部体育館会議室でもたれました。事務局は、姥屋敷中の中川直之先生です。これからの活躍を期待します。

● 皆様のご協力で、杜陵サークルレポート集２００４が７月末に刊行できました。職場や知人に勧めてもらえればと思います。サークル通信２００３〜２００４と合わせて１０００円というお手頃の価格です。

● 絶好調の宮本先生と下町先生のホームページ。宮本先生のホームページの中に杜陵サークルのコーナーがあります。皆さんのぞいてみよう。

　　　下町先生のHP　　http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/

　　　　宮本先生のHP　　http://homepage1.nifty.com./toretate/

 

８月例会の様子

　８月２０日（金）の杜陵サークル８月例会の様子をお知らせします。

●What Is This Thing Called “Cells Operation”                下町　壽男（花巻北高校）

　ここで述べる話題は、「BASIC数学」（1992年５月号）の「what To Solve (Ｊ・コフマン)を読んでのものです。

　隣接するセルの約束された計算で、次の状態が決まっていくような系を「オートマトン」といいます。オートマトンは高校生にとっても数学の面白さを知るとてもよい話題になります。例えば高校生向けとして次のような問題はどうでしょうか？

この問題は虚数単位の計算という他愛のないものですが、結果の美しさと不思議さが興味をそそります。何度かこのような計算を行った後、興味を持った生徒には次のような問題をだしてもよいでしょう。

『上の例において、どんな配置に対しても必ず全部の要素が１になることを証明せよ。』

　次に発展です。上の例からわかることは１の４乗根で表された数が４ステップで｛−１、１｝つまり１の２乗根の世界に変化するということです、このことから、

『１の原始１６乗根をξとして各セルの要素をξ^p(p=0,1,2,3,…,15)とするとき何回で定常状態（全部のセルが１）になるか？』

　実際の計算をする場合は、かけ算で考えるのでなく指数に注目し、たし算で考えればよい。

　３×３のセルで、左上の隅が１で残りが０として、

０＋０＝０，１＋０＝１，０＋１＝１，１＋１＝０

の演算でのオートマトンを考えてみよう。

１９９４年の数列の漸化式の授業では、１をオオカミ国、０をヒツジ国として生徒に考えさせた。

　図のように３×３のセルでは、収束し全てのセルが０になるが、４×４、５×５などはサイクリックになる。ではどんなときに収束するだろうが？

『一般にのときにｎ×ｎのセルは、全て０に収束する』

証明は高校生には無理かもしれない。

　サークルの検討では、正方形状のセルを拡張して「立方体状のセルで考えたらどうなるだろうか？」とか、「図のような一般のグラフで考えたらどうだろうか？」など例によって無責任？な提案が飛び交った。誰かかんがえたら？

●This Is I Think About “Cells Operation”                     下町　壽男（花巻北高校）

　２月に広島市でもたれる全国研究集会の発表をにらんだレポートでした。下町先生が１５年前に県北のＯ高校（かなりの低学力の生徒が多い）での高校数学の入門の実践を下敷きにしたものです。

　§１　長方形の面積　　　　§２　リーグ戦の話　　　§３　乗積表　　

　§４　展開　　　　　　　　§５　因数分解　　　　　§６　除法

いずれも、べきタイルと乗積表（田んぼ算）を使ってとてもわかりやすく授業したもののレポートです。詳しくは、数学教室２月号を見てください。今回はその中の応用編のいくつか紹介します。

　応用１　２重根号をはずす

　をはずすには、となるようにを変形すればよい。そこで、図のような表を作成する。

 

 

　応用２　いろいろな因数分解

　文字複数同次形の式の因数分解について、

　応用４　微分係数

　において、のときの変化率（微分係数）を以下のように説明した。まず、（実際はａは具体的な数で与える）からほんの少し（ｈ）だけ増えたとき、がどうなるかを電卓を使って計算します。次に下図のような面積図での様子を説明します。

この面積図によってｈの２次の項を無視するという考えが納得できる。

そこで、

において、直接図よりを求めることができる。

 

 

 

 

応用３のべき展開、応用５のベン図は紙面の関係で省略します。

 

●It Don’t Mean A Thing It Ain’t Got That Swing　　　　　　　　　 下町　壽男（花巻北高校）

　ある日の授業で『３個のさいころを同時に投げたとき、目の和が10になる場合は何通りあるか』という問題を出した。これを『さいころ母関数』を使って解くことにする。すなわち、

の係数を調べるのである。係数分離法でやると。

まず、

これより

　　　

よって、目の和が１０なるのは、の係数を見ればよいので、２７通りでることがわかる。

 

●内接円と三角形の面積　　　　　　　　　　　　　　　　　　下河原　英（軽米高校）

　△ＡＢＣの内心をＩとする。内心ＩからBC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする。直角三角形AFIについて、

同様にして

△ABCの面積をＳとすると

となる。では、内接円を持つ四角形ABCD（円に外接する四角形ABCD）の面積Ｓはどうなるだろうか？三角形と同様の考察をして、

これをｎ角形に拡張するのは容易である。

 

●四面体の重心　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　井上　具規（花巻北高）

　四面体A-BCDの重心Ｇは、頂点Aと三角形BCDの重心Ｆとを結ぶ線分ＡFを3：１に内分することを証明しよう。

　重心Ｇと各頂点を結ぶと４つの四面体Ｇ-ABC,G-ACD,G-ADB,G-BCDができる。これらの四面体をＧと底面の三角形の中線で決まる平面で切ると６つのブロックに分かれる。つまり、四面体は４×６＝２４ブロックに分けられる。ところで、この２４のブロックは容易に体積が同じであることがわかる。

　さて、線分AFを含む、４面体A-FCMの中には４つのブロックが含まれ、

（四面体A-FCM）：（四面体G-FCM）＝４：１

となるので、

AG：GF＝３：１

がいえる。

 

 

 

 

 

 

 

●折り紙の織り紙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　井上　具規（花巻北高）

　図のような籐の織物をよく見かける。この模様を１枚の紙でおるだけで作ってみよう。展開図は次の通りである。実線は山折り、点線は谷折りにして折るとできあがる。（しかし、かなりの時間が必要）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

●期待値の授業　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宮本次郎（釜石南高校）

　今回は「期待値」の授業の様子をお知らせします。

みやじ「今日は『期待値』というところです。期待値とは何なのか、わくわくと期待で胸が膨らみますね･･･。

生徒「･･･（無反応）･･･」

みやじ「ま、教科書見てみますか･･･。」

　　　　　【教科書】赤球１０個、白球３０個、黒球６０個入っている袋から１球を取り出す。赤球、

　　　　　　白球、黒球を取り出すとき、それぞれ７００円、３００円、１００円の賞金が与えられ

　　　　　　るものとする。

みやじ「いきなり現実場面から遊離した、数学らしい設定ですね。いったい何をこれから勉強しようとしているんでしょうね。

生徒「･･･（無反応）･･･」

中略

みやじ「さて教科書の次の部分を見てみると･･･」

　　　　　【教科書】賞金とその各値をとる確率は、次のようになる。

　　　　　　　　　賞金　　７００円　　３００円　　１００円　　計

　　　　　　　　　確率　　　　　　　　　　　　　　 １

　　　　　　この試行を１回行ったときに与えられる賞金の平均は、賞金の総額を球の総数で割った　

　　　　　　ものであるから、

　　　････�@

　　　　　　となる。これは、

　　　････�A

　　　　　　とも考えることができる。

みやじ「確率がこの表のようになっているというのはいいよね。」

生徒「（うなずく）」

みやじ「じゃあ、次に続く部分はどういう意味だろうね？わかるかい？」

生徒Ｅ「平均？」

みやじ「平均かあ？何の？」

生徒E「賞金全部の！」

みやじ「賞金全部の平均ってことは･･･この１００個の球の全部の平均ってこと？」

生徒E「うん」

中略

みやじ「さて、教科書の文書だと、これが『この試行を１回行ったときに与えられる賞金の平均』だっていうんだけど、これはどう思う？」

生徒「･･･（無言）･･･」

みやじ「『この試行を１回行ったときに与えられる賞金の平均』っていうことは、１００個の球の入った袋から１個取り出して、球の色によって賞金が１００円だったり３００円だったり７００円だったりするわけだけども、こういう試行を何回も行ったときの平均っていう意味なんだろうか？

生徒Ａ「そりゃあそうでしょう･･･。他にどういう解釈があるの？」

中略

みやじ「みんなちょっと考えているようだね。もう少し考える材料を追加しましょう。もうひとつ、教科書で平均を求めている計算があるけれど、これは、一つの袋の１００個についての賞金の平均だよね。」

生徒「（うなずく）」

みやじ「そこで、ちょっと考えてほしいのだけど『この袋を１００セット用意して、各セットから１つずつ取って賞金をもらうと考えた賞金の平均』と『一つの袋の１００個ついての賞金の平均』とは同じ概念ですか？」

生徒「･･･（無言）･･･」

みやじ「じゃあ、ここで、みんなの意見を聞いてみましょうか･･･

　　　　　１.同じもの　２.違うもの　３.どうでもよい

さあ、どうでしょう？」

（１.           同じものに手を上げた生徒は５人で、それ以外はみんな２.の違うものに手をあげる）

みやじ「えーっと、同じものだと思った人、違うものだと思った人に対して「何考えてんだ！同じだろ！」って感じで反論して！

生徒Ｆ「･･･」

みやじ「じゃあ、反対に違うものと思った人、同じだっていう人に、反論して！」

生徒Ａ「･･･」

みやじ「えー･･･。多数決で決めるとすれば、２つのことは違うということになる。けれども、教科書の記述は、この２つは同じものだと書いてあるね。教科書の記述にオブジェクション！ってことかな？」

生徒Ａ「（困った顔をしながら）そうですね･･･。」

 

後略

 

　授業はこの後、�@の式と�Aの式の性格の違い、すなわち�@の式は『必然の値』で�Aの式は『偶然に左右される確率現象についての値』ということに進み、期待値の定義式を導くことで終わります。

 

●タンジェントの数学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　伊藤潤一（盛岡北高校）

　§１　みよ大空に飛行機の高く飛べるを

　タンジェントらしい問題をいくつか作ってみた。石川啄木の詩の情景を彷彿させる問題である。

（１）高度10000ｍを水平飛行する旅客機がある。この旅客機が頭上を通ってから１分後の仰角を測ってみたら40°であった。この旅客機の速度を求めよ。

　　左図において

よって、速度は

　　　11918 m/分　≒　715km/時

（２）速度1200km/時で水平飛行する飛行機がある。この飛行機が頭上を通ってから１分後の仰角を測ったら35°であった。この飛行機の高度を求めよ。

（３）高度10000mを水平飛行する旅客機がある。この旅客機が頭上を通ってからしばらくして仰角を測ったら60°、１分後に測ったら30°であった。この旅客機の速度を求めよ。さらに、１分後のこの旅客機の仰角を求めよ。

§２　絵画の視角

　壁に長方形状の大きな絵が図のような位置に飾ってある。この絵の縦方向の視角が最大になる地点は壁から何ｍのところか？

 

　壁からの距離をχ、視角をθ、∠AOC=α、∠BOC=βとする。

（１）微分法（数学�V）を使って解くと

････�@

より、　となるのは　

（２）相加平均、相乗平均の関係（数学�U）を使って解くと

�@ を変形すると

　　　相加平均、相乗平均の関係より分母は、

　　　等号成立の条件は　　すなわち　

（３）方べきの定理（数学Ａ）を使って解くと

　　　　地点Ｏでの視角θを一定にするような点の位置は、△ＯＡＢの外接円上にある。この外接円

　　　の半径が小さければ小さいほど視角θは大きくなるので、ＯＣと接する円を考えればよい。

　　　　方べきの定理より、

　　　すなわち、　よって　

§３　正接定理

　正弦定理、余弦定理はよく知られているが正接定理はあまり知られていないようだ。

　　　　正接定理　　　

　とりあえず、証明はできたが今一ピントこない。また、正接定理はどんな場面で使うのだろうか？誰か教えてくれ！