’05杜陵サークル１月例会の案内

　

　新年明けましておめでとうございます。今年も元気でサークルを楽しみましょう。会員の皆様は、学校も始まりまた新たな気分で授業・部活動に励んでいることと思います。センター試験にかかわった皆様、お疲れさまです。これから、出願・受験とつづきますが、くれぐれもご自愛ください。さて、杜陵サークルの１月例会を次の日程でもちます。なお、例会終了後にいつもの月見亭で“新年を祝う会”をもつ予定ですので、こちらの参加もよろしくお願いします。

 

記

 

１　日　     時　１月２２９日（土）ｐｍ４：００から７：３０まで

２　場　     所　岩手大学教育学部小宮山研究室（４０７号）

　　　　　    　 tel 019-621-6539  fax 019-621-6543

３　サークル例会  実践レポート発表・検討、教具作り& 数学雑談、全国教研の報告

 

インフォメーション

 

● １１月２７日（土）〜２８日（日）にＡＭＩ東北大会が山形県の米沢市でもたれ、サークルからもたくさん参加しました。宮本先生と井上先生のペーパークラフトのお店は、小学校の先生も参加されて大いに盛り上がりました。なんと何人かの人はクローバーノットの曲面に挑戦しました。また、分科会では下河原先生が正多面体、下町先生が数列の教具、伊藤先生が不等式の指導を発表しました。圧巻だったのは福島の森先生の同僚の先生と苦労しながら作った空間充満の多面体の模型でした。今後の展開が楽しみです。

● １２月２９日（月）にいつもの月見亭で、サークルの忘年会がもたれました。そして関西や沖縄の修学旅行に行った先生のおみやげのお酒が振る舞われました。下町先生の購入ほやほやの三線の演奏も聴くことができましたし、井上先生の大道芸もさえ渡りとても楽しい会になりました。北海道から参加したＣｈｏｉさんは、ＡＭＩ花巻大会のスタッフＴシャツの見本をもってきました。試着したらこれがまたイイんだなー。

● １月８日（土）、９日（日）に一関市南小学校で岩手民教研がもたれました。宮本先生は球の表面積・体積を求める模型や黄金比満載のデューラーの八面体のペーパークラフトの作成を紹介しました。また、伊藤先生は背理法の指導メモのレポート発表をしました。参加者は少なかったですが、内容のある分科会でした。

● ２月１２日（土）、１３日（日）広島市で全国研究会議がもたれ、下町先生が発表します。内容は数学教室の２月号に載っています。サークル会員必読でしょうね。この会議に、下町先生の他に小宮山先生、伊藤先生、宮本先生、下河原先生そして木下先生が参加する予定です。また、同時にもたれる全国委員会で2006年全国大会の骨子が論議される予定です。

● １０月例会で発表したJung-Ah Choi（北海道）レポートの解説に対して宇都宮大学の井ノ口順一先生からのコメントが寄せられています。双曲空間についての記述が不正確であったようです。訂正したものは宮本先生のＨＰに載っていますので見てください。サークル通信をキチンと見てくれている人がいるのは心強いかぎりですね。

● 絶好調の宮本先生と下町先生のホームページ。宮本先生のホームページの中に杜陵サークルのコーナーがあります。皆さんのぞいてみよう。

　　　下町先生のHP　　http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/

　　　　宮本先生のHP　　http://homepage1.nifty.com./toretate/

 

１２月例会の様子

　１２月４日（土）の杜陵サークル１２月例会の様子をお知らせします。

●三角比の授業　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宮本次郎（釜石南高校）

１　平面幾何と三角比

　平面幾何の中で次の辺の長さを求める問題をやってみた。このような問題は結構よくできる。　

　　　　　

　　　ところが次のように解く生徒はいなかった。

　　　　

　２番目の解法こそが三角比なのであるが、生徒達とってはこういう考え方は「自然」ではないということだろうか。小学校で学習した

比較される量＝もとになる量×割合

という関係は、図形の中では自覚されず、むしろ、相似を通して「比例関係」の方が自然に受け入れられているのではないだろうか。もしそうであるならば、三角比の学習が「比例関係」をベースにして、小学校以来導入されてこなかった「比の値」を自立した概念とする絶好の場面かもしれない。はじめに比の値として三角比を定義する前に「単位あたりの大きさ」から出発して比例関係を通して生徒にとって自然な考えの流れに沿って少しずつ慣れていきながら最終的に自立した「比」の概念ができあがるような指導の流れが望ましいのではないだろうか。

２　指導の順序

 

 

 

 

 

角度θの斜面を１進んだときの水平方向上昇分をと定義する。これは「単位あたりの大きさ」を定義しているのであって「比」としての定義ではない。

　このように定義して、図１のような練習をする。この練習は簡単で、非常によくできる。

次に、図２のような練習をする。

 

であるから、

となる。これは、小学校でやってきた

比較される量＝もとになる量×割合

をめぐる３つの量の扱いの練習に対応するものになる。そして、この練習が全員できるようになったところで、図３からを求める練習をする。この練習は、教科書の定義になる。

　授業をすすめ十分に三角比になれたところで、最初の定義を振り返り、教科書の定義との違いを確認したした後で、

斜面１進行したときの垂直上昇分としての

という定義と

比の値＝対辺/斜辺

という定義ではどちらが好きか？と尋ねてみると

１あたり量としての定義・・・３分の２　比の値としての定義・・・３分の１

ということであった。あのＳの字書く覚え方はそれなりに分かり易いのだろう。

 

●杜陵サークルPresents〜数学の小論文対策講座〜　　　　　　　　下町壽男（花巻北高校）　　　　　　　　　　　　　　　

　

自然数全体の集合をＮとかく。Ｎの部分集合Ａに対し、ｎ以下の自然数でＡに属するものの個数をとかくとき、次の問に答えよ。 （１）Ａを偶数全体の集合とするとき、を証明せよ。 （２）となるような集合Ａを作れ。 （３）無限集合であって、となるような集合Ａを作れ。 【２００４　東北大学理学部数学科小論文】

　花北のＳ君の答案

（３）となるためには、＝定数となればよい（収束）。しかし、は自然数によりは発散する。そこで、Ａを素数全体の集合と考えてみる。素数は無限に存在する。（注１）しかし、

　のとき

　 　のとき

   　のとき

    　

のように、ｎが大きくなっていくと との差は大きくなるので、と考えられる。また、　　　　

　　　以下の素数の数（注２）となるので、

　　　

よって、以上により、Ａは素数全体の集合である。

　しもまっちのコメント

注１に関わって

　素数が無限に存在するということは証明できますか。確か課外で２通りの方法を行いましたが覚えていますか。面接ではそこの部分の説明を求められるかもしれませんね。

注２に関わって

　素数定理を思い浮かべたのはユニークですね。でも素数定理は

（はｎ以下の素数の個数）というやつでした。だから、そのものが（それの切り捨て）になるということではありませんね。素数定理はガウスやルジャンドルが予想し、それから１００年以上経過してチェビシェフやリーマンらによって進展し、１９世紀になってようやく証明された定理です。素数定理は、課外でじっくりやりましたし、２冊の本（オイラーの贈り物/吉田武、素数入門/芹沢正三）も読んでもらったので、頭に入っていたのですね。もしかしたらこれはヒットかもしれませんね

（Ｓ君はみごとに合格したとのことです。下町先生よかったですね）

 

●の近似　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　金濱千明（盛岡第一高校）

　入試問題から

 

 

 

　解答例は、不等式　の証明で示されるが、その背景について考察する。

まず

とする。よりとなりとなることより、

がわかる。これはの比がに近づくことを示している。

また、

・・・�@

より

・・・�A

 

なので、比はのときとなることがわかり、�@から

となるのでの値を前後しながら、結構はやく収束する様子がわかる。

サークルでは、解がの方程式より、漸化式を作ると

とすると

となり、近似分数を得る手っ取り早い方法が紹介された。また、１×２の面積２の長方形から出発して、下の図のように面積２を保存しながら次第に正方形に変形していく方法は、古代バビロニアの平方根の算出法と同じであることが紹介された。

 

 

●トポロジーの連結と分離　　　　　　　　　　　　　　　　　　井上　具規（花巻北高）

　次のような図形はすべて同一視しよう。このとき以下のように様々な模様ができる。これらを分類し名前を付けて、演算を考えていきたい。

 

１　基本の名前

（１）穴の数によって基本の名前を付ける。

（２）穴の中に図形が入るときは（　）内に記す。

 

（３）穴の中に何も入っていないときは、φで表す。

（４）穴の中に２つ以上ある場合は並列して表す。

　

（５）同じものが並列した場合は累乗の形で略記する。

 

２　複雑な例

　以上によって、どんな複雑な形の名前を付けることが可能になった。同列の場合は、φ、０，１，２，…の順で書き表すことにすると、例えば左の図は

と表される。ところで上記のＡの部分が連結すると

のように変化する。

のようにＡが配置されており、連結したためである。

　このような連結あるいは分離によって、どのような変化が起こるか考察し、この３次元バージョンへの応用を考えた。　

 

●７個の点を一筆書きする方法　　　　　　　　　　　　　　佐々木義卓（岩大大学院生）

　円Ｏの円周をｎ等分する点をとる。それらの全ての点を通って描かれる図形（ただし１つの点を２度通ることは許されない）の数を考え、この数を表現数とよびで表すことにする。ところで、

であることが知られている。各点を回る順番は、単純に通りが考えられるが、それらの順番に適当な置換（回転等）を行えば、互いに同値なものが得られるはずである。

　まず、円Ｏを７等分する点に、１，２，３，４，５，６，７の番号をつけ、１を出発点にする図形を考える。この点を、の順番で通る図形に対して

で表すことにする。そして、次の３種の置換を考える。

Ｄ１：円Ｏの中心に回転を与える置換

Ｄ２：点１と円Ｏの中心を通る直線を対称軸とする置換

Ｄ３：順番方向を変える置換

　３つの互換の合成

　この３種の置換を使って、図形を分類する。ここで図形Ｓにαを作用させた図形をＳ^αと表すことにする。

１　完全対称な図形：を満足する図形、すなわち回転によって重なるような図形（図１）

　　　この表現数をとすると、となる。

２　対称な図形：を満足する図形、すなわち線対称によって重なるような図形（図２）

　　　この表現数をとすると、が成り立ち、となる。　　

３　鏡映な図形：１でも２でもない図形（図３）

　　　この表現数をとするとが成り立ち、となる。

これより

となる。

 

　一般にｎが素数のときの表現数は、ｎ＝７のときと同様にして

１　完全対称な図形の表現数：

２　対称な図形の表現数：より計算

３　鏡映な図形の表現数：より計算

 

こうして、から求めることができる。

 

●相加平均と相乗平均の証明法　　　　　　　　　　　　　　　　伊藤潤一（盛岡北高校）

　　相加平均・相乗平均の証明法をいくつか調べてみた。高校の数学をいくらか超えるところもあるが、数学の証明を楽しむ絶好の教材でもあるので、数学愛好の生徒に紹介したらどうだろうか？

　１コーシーの天才的証明法

　２微分法を用いた堅実な証明法

　３凸関数の性質を用いた洒落た証明法

　４ポリアのひらめきの証明法

　５フルウィツの対称式を使った不思議な証明法

　６ロルの定理を利用した刺激的な証明法

についてとりあげたが、最後の６の証明だけ説明しよう。

、をある定数として、次の３次関数を考える。

……�@

とすると、

　　

　関数�@は、３つの零点をもつので、ロルの定理より次の導関数は２つの零点をもつ。

よって、判別式をＤとしてすなわち……�A

次に、をある定数として、次の３次関数を考える。

……�B

　関数�Bは、３つの零点をもつので、ロルの定理より次の導関数は２つの零点をもつ。

よって、判別式をＤとしてこの式から……�C

すなわち

が成り立つことが示された。このことは、方程式の係数と方程式の解の平均の間に密接な関係が成り立つということを示している。この視点は、極めて刺激的である。