杜陵サークル２月例会案内

　’05杜陵サークル１月例会の案内

　新年明けましておめでとうございます。今年も元気でサークルを楽しみましょう。会員の皆様は、学校も始まりまた新たな気分で授業・部活動に励んでいることと思います。センター試験にかかわった皆様、お疲れさまです。これから、出願・受験とつづきますが、くれぐれもご自愛ください。さて、杜陵サークルの１月例会を次の日程でもちます。なお、例会終了後にいつもの月見亭で“新年を祝う会”をもつ予定ですので、こちらの参加もよろしくお願いします。

記

１　日　 時　１月２２９日（土）ｐｍ４：００から７：３０まで

２　場　 所　岩手大学教育学部小宮山研究室（４０７号）

　　　　　　 tel 019-621-6539 fax 019-621-6543

３　サークル例会 実践レポート発表・検討、教具作り& 数学雑談、全国教研の報告

インフォメーション

● １１月２７日（土）〜２８日（日）にＡＭＩ東北大会が山形県の米沢市でもたれ、サークルからもたくさん参加しました。宮本先生と井上先生のペーパークラフトのお店は、小学校の先生も参加されて大いに盛り上がりました。なんと何人かの人はクローバーノットの曲面に挑戦しました。また、分科会では下河原先生が正多面体、下町先生が数列の教具、伊藤先生が不等式の指導を発表しました。圧巻だったのは福島の森先生の同僚の先生と苦労しながら作った空間充満の多面体の模型でした。今後の展開が楽しみです。

● １２月２９日（月）にいつもの月見亭で、サークルの忘年会がもたれました。そして関西や沖縄の修学旅行に行った先生のおみやげのお酒が振る舞われました。下町先生の購入ほやほやの三線の演奏も聴くことができましたし、井上先生の大道芸もさえ渡りとても楽しい会になりました。北海道から参加したＣｈｏｉさんは、ＡＭＩ花巻大会のスタッフＴシャツの見本をもってきました。試着したらこれがまたイイんだなー。

● １月８日（土）、９日（日）に一関市南小学校で岩手民教研がもたれました。宮本先生は球の表面積・体積を求める模型や黄金比満載のデューラーの八面体のペーパークラフトの作成を紹介しました。また、伊藤先生は背理法の指導メモのレポート発表をしました。参加者は少なかったですが、内容のある分科会でした。

● ２月１２日（土）、１３日（日）広島市で全国研究会議がもたれ、下町先生が発表します。内容は数学教室の２月号に載っています。サークル会員必読でしょうね。この会議に、下町先生の他に小宮山先生、伊藤先生、宮本先生、下河原先生そして木下先生が参加する予定です。また、同時にもたれる全国委員会で2006年全国大会の骨子が論議される予定です。

● １０月例会で発表したJung-Ah Choi（北海道）レポートの解説に対して宇都宮大学の井ノ口順一先生からのコメントが寄せられています。双曲空間についての記述が不正確であったようです。訂正したものは宮本先生のＨＰに載っていますので見てください。サークル通信をキチンと見てくれている人がいるのは心強いかぎりですね。

● 絶好調の宮本先生と下町先生のホームページ。宮本先生のホームページの中に杜陵サークルのコーナーがあります。皆さんのぞいてみよう。

　　　下町先生のHP　　http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/

　　　　宮本先生のHP　　http://homepage1.nifty.com./toretate/

１２月例会の様子

　１２月４日（土）の杜陵サークル１２月例会の様子をお知らせします。

●三角比の授業　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宮本次郎（釜石南高校）

１　平面幾何と三角比

　平面幾何の中で次の辺の長さを求める問題をやってみた。このような問題は結構よくできる。　

　　　ところが次のように解く生徒はいなかった。

　２番目の解法こそが三角比なのであるが、生徒達とってはこういう考え方は「自然」ではないということだろうか。小学校で学習した

比較される量＝もとになる量×割合

という関係は、図形の中では自覚されず、むしろ、相似を通して「比例関係」の方が自然に受け入れられているのではないだろうか。もしそうであるならば、三角比の学習が「比例関係」をベースにして、小学校以来導入されてこなかった「比の値」を自立した概念とする絶好の場面かもしれない。はじめに比の値として三角比を定義する前に「単位あたりの大きさ」から出発して比例関係を通して生徒にとって自然な考えの流れに沿って少しずつ慣れていきながら最終的に自立した「比」の概念ができあがるような指導の流れが望ましいのではないだろうか。

２　指導の順序

角度θの斜面を１進んだときの水平方向上昇分をと定義する。これは「単位あたりの大きさ」を定義しているのであって「比」としての定義ではない。

　このように定義して、図１のような練習をする。この練習は簡単で、非常によくできる。

次に、図２のような練習をする。

であるから、

となる。これは、小学校でやってきた

比較される量＝もとになる量×割合

をめぐる３つの量の扱いの練習に対応するものになる。そして、この練習が全員できるようになったところで、図３からを求める練習をする。この練習は、教科書の定義になる。

　授業をすすめ十分に三角比になれたところで、最初の定義を振り返り、教科書の定義との違いを確認したした後で、

斜面１進行したときの垂直上昇分としての

という定義と

比の値＝対辺/斜辺

という定義ではどちらが好きか？と尋ねてみると

１あたり量としての定義・・・３分の２　比の値としての定義・・・３分の１

ということであった。あのＳの字書く覚え方はそれなりに分かり易いのだろう。

●杜陵サークルPresents〜数学の小論文対策講座〜　　　　　　　　下町壽男（花巻北高校）　　　　　　　　　　　　　　　

自然数全体の集合をＮとかく。Ｎの部分集合Ａに対し、ｎ以下の自然数でＡに属するものの個数をとかくとき、次の問に答えよ。

（１）Ａを偶数全体の集合とするとき、を証明せよ。

（２）となるような集合Ａを作れ。

（３）無限集合であって、となるような集合Ａを作れ。

【２００４　東北大学理学部数学科小論文】

　花北のＳ君の答案

（３）となるためには、＝定数となればよい（収束）。しかし、は自然数によりは発散する。そこで、Ａを素数全体の集合と考えてみる。素数は無限に存在する。（注１）しかし、

　のとき

のように、ｎが大きくなっていくととの差は大きくなるので、と考えられる。また、　　　　

　　　以下の素数の数（注２）となるので、

よって、以上により、Ａは素数全体の集合である。

　しもまっちのコメント

注１に関わって

　素数が無限に存在するということは証明できますか。確か課外で２通りの方法を行いましたが覚えていますか。面接ではそこの部分の説明を求められるかもしれませんね。

注２に関わって

　素数定理を思い浮かべたのはユニークですね。でも素数定理は

（はｎ以下の素数の個数）というやつでした。だから、そのものが（それの切り捨て）になるということではありませんね。素数定理はガウスやルジャンドルが予想し、それから１００年以上経過してチェビシェフやリーマンらによって進展し、１９世紀になってようやく証明された定理です。素数定理は、課外でじっくりやりましたし、２冊の本（オイラーの贈り物/吉田武、素数入門/芹沢正三）も読んでもらったので、頭に入っていたのですね。もしかしたらこれはヒットかもしれませんね