’05杜陵サークル１０月例会の案内

　

　秋冷の候、杜陵サークルの会員の皆様いかがお過ごしでしょうか？学芸の秋ですからきっと夜長を数学三昧で楽しんでいるでしょう。「それどころではない！」という声も聞こえてきそうですが、数学も人生も楽しまなくちゃね。さて、杜陵サークルの１０月例会を次の日程でもちます。忙しい中ですが、新しい仲間を誘って参加するようよろしくお願いします。また、サークル終了後いつもの月見亭で“中秋をめでる会”をもつ予定ですので、よろしくお願いします。

 

記

 

１　日　     時　１０月２９日（土）ｐｍ４：００〜７：３０

２　場　     所　岩手大学教育学部　小宮山研究室４０７号）

　　　　　    　 tel 019-621-6539  fax 019-621-6543

３　内　　　 容  実践レポート発表・検討、

　　　　　　　　 教具作り& 数学実験

 

インフォメーション

● １０月９日（日）、１０日（月）新宿でＡＭＩ全国事務局長会議がもたれ、岩手から小宮山、伊藤、下町、木下先生が参加しました。この会議で、来年の花巻大会の検討がなされました。おかげさまで、ほとんどの分科会の担当地区が決定しました。また講演も秋山先生と野崎先生の対談も承認されました。「教具展に“賞”を導入する」「大会記念問題＆パズルを出す」などのアイデアも寄せられました。この会議をうけてさらに準備を加速しなければという思いを強くもちました。

● １０月２２日（土）に花巻大会の第２回実行委員会が大会会場の花巻温泉千秋閣でもたれます。ホテルとＪＴＢの担当者と宿泊・会場関係の下見と打ち合わせをします。また、大会の運営や準備について協議をする予定です。

● １０月５日付けで花巻大会の岩手県教育委員会の後援がおりました。今後は、花巻市教育委員会の後援、マスコミ関係の後援をお願いする予定です。

● “家庭の算数・数学百科”（日本評論社）の売れ行きは、とてもわかりやすく「寝ころびながらでも読める辞典」ということでとても好調のようです。サークルの６名も著者に入っていますので、たのめば“八掛け”で手に入るはずです。個人でまた学校の図書館に普及したいものですね。

● １０月１８日（火）に高教組教研推進委員会がもたれ、下河原先生を中心に今年度の県教研の準備をいたしました。なお、教研（教科別）は１１月１８日（金）、１９日（土）花巻温泉の予定です。皆さん参加し教研を盛り立てましょう。

● 絶好調の宮本先生と下町先生のホームページ。宮本先生のホームページの中に杜陵サークルのコーナーがあります。皆さんのぞいてみよう。

　　　下町先生のHP　　http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/

　　　　宮本先生のHP　　http://homepage1.nifty.com./toretate/

 

９月例会の様子

　

９月２３日（土）杜陵サークル９月例会の様子をお知らせします。

●位相的正多面体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　井上具規（花巻北高校）　

前回のサークルで発表したトーラス上の位相的多面体についてのレポートをさらに発展させた内容です。なんでも、３日間徹夜で考えたことのようです。（数学は体力かも！）

穴の数ｈの浮き輪 T_hを考える．

　　　　　ｈ＝１，ｈ＝２，ｈ＝３，・・・

浮き輪の表面に点を配置し結んだ線を辺として、

(i) 各頂点に集まる辺の数ｍが一定であり，（ｍ≧３：面を２枚裏表に貼るのはなし），

(ii) 各面を構成する辺の数ｎが一定である．（ｎ≧３：２角形などはなし）

を満たすとき，この浮き輪T_h上の一種のグラフを位相的正多面体と呼ぶことにする。Ｖ：点の数　Ｅ：辺の数　Ｆ：面の数とすると、次の関係が成り立つ。

Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝−2(ｈ−1)・・・�@（オイラー標数）

　　　　　　　　　　　ｍＶ＝２Ｅ＝ｎＦ　　　・・・�A

�@�Aより

穴の数ｈがいくつであっても，位相的正多面体が存在する．

ことがいえる。また、穴の数が一つ増えるたびに，点の数は２個（A,B）、辺の数は４個(a,b,c,e)、多角形のｎの数は８つ(a,b,c,d,e,f,g,h) だけ増えることがわかる。

 

位相的　４(２ｈ−１)角形１面体

点と面を入れ替えることによって双対な位相的正多面体を得ることができる。

　

　　位相的５角形８面体　　　　位相的４角形１０面体

　このとき，ＶとＦの値が入れ替わり，同時にｍとｎの値も入れ替わることがわかる。そして、

ｈ＝２のときには，位相的正多面体は，２５種類である．

ことがわかった。その例の一部を紹介しよう。

 

 

 

 

　

その他の穴の数ｈについての種類数は次の通りである。

位相的５角形８面体　　　　位相的６角形４面体　

h	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
種類	25	38	46	55	58	68	69	72	75	93	73

いやはや、なんともパワーのこもった凄いレポートでした。　

●入魂の課外授業から　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下町壽男（花巻北高校）

　下町先生の“入魂”シリーズはいずれも力作です。このようなプリントを心待ちにしている花巻北高の生徒達はたいしたものです。今回は、次の３つの話題の発表でした。

入魂の課外授業＃１０　一次分数関数と行列の話題

入魂の課外授業＃１１　重複組み合わせと母関数

入魂の課外授業＃１２　微分係数ショートショート

　この中で、一番やさしい（？）＃１２の微分係数ショートショートの抜粋を紹介します。

 

 

 

Ｓ：この問題がしっくりこないですけど。

Ｔ：微分係数の問題ですね。まず、微分係数の定義とは何だっけ。

Ｓ：ですね。

Ｔ：そうですね。これは、のにおける接線の傾きを表しているんでしたね。

　　もの形にもっていけばいいのです。つまり与式を

　　

　　と変形するところがポイントです。ここで注意しておくことは、微分係数の定義式は

　　という形になっていて、が同じもので、となっていればよいわけです。

Ｓ：そこで、続きとして

　　とするのですね。答えにもそうかいてあるので、そんなもんかいなあと思うのですが、結局これ　　　

　　は式変形のアイデアだけの問題なのですか。

Ｔ：もし、この問題に意味付けをするならば、以下のように考え

　　るのはどうでしょう。

　　図のＡ地点は定点で、そこに細い糸がくくり付けられている

　　とします。そして、今、Ｐ地点に「こ

　　びと」がいて、その先をピンと引っ張っているとします。こ

　　のとき、糸（の延長）が表す直線ＡＰの傾きが

　　を表しますね。これは平均変化率と呼ばれ

　　るものですね。さて、そこで、この状態から、「こびと」が　

　　Ａ地点に向かって、糸を引っ張りながら進んで行くとします。

　　すると、張る糸の傾きは、Ａにおける接線の傾きに近づいていくことがわかりますね。このとき

　　の近づいていく直線の傾きがというわけです。

Ｓ：はい。そのようなイメージで、「微分係数＝接線の傾き」と捉えていました。

Ｔ：さて、今度は次のような図で考えます。Ｐ地点とＱ地点に「こびと」がいて、両方から糸を引っ

　　張っています。そして、その「こびと」がともにＡ地点を目指して糸を引っ張りながら近づいて

　　いきます。このときの糸の傾きはどうなりますか。

Ｓ：ええと、〜までの距離は、これがｘの増分、ｙの増分はで

　　す。つまり糸の傾きはですね。

Ｔ：では、Ｐ、Ｑの「こびと」がＡに限りなく近づいていくときに、

　　糸の傾きはどうなると思う？

Ｓ：やはり、Ａにおける接線の傾きに近づいていくでしょうね。

Ｔ：そうなんでね。ということは、

　　ということでしょう。

Ｓ：なあんだ。ということは、

　　ということですね。わかりました。これで式の意味するところがわかった気がします。

Ｔ：高校で極限を考える場合、一方が固定されている形（つまり一方が極限値）で考えたことが多い

　　ですね。つまり、というタイプですね。しかし、ここで考えたのは、両方動いている

　　形という形の極限値なんですね。まあ、実際この問題では、両方動いているといっ

　　ても、その差はいつも一定＝５ｈですけれどもね。

 

●準正多面体の体積と表面積�V−接頭ｎ面体の体積と表面積�A−　　下河原英（軽米高校）

　今回は、切頭十二面体について考えてみよう。

１　はじめに

　黄金比をφとする。すなわち。今、である図のような三角錐を考えよう。

　Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＨ、∠ＡＤＨ＝θとする。また、ＡからＤＨに下ろした垂線の足をＨ′とする。△ＡＢＨに三平方の定理を、△ＡＤＨに余弦定理を適応して計算すると

が得られる。これを用いてこの三角錐の体積を求めると次のようになる。

２　接頭十二面体の１辺

　正十二面体の１辺の長さを１とする。この２０個の頂点から三角錐を切り取り接頭十二面体の１辺の長さを求める。

　図のようにとすると、となり、よりとなる。

３　接頭十二面体の体積

　この接頭十二面体の体積をとする。切り取る三角錐は「１」の三角錐と相似であるので、切り取る三角錐の体積をとすると、

　より　

また、１辺が１の正十二面体の体積は、以前のレポートからとわかっているので、

これを使って、１辺が１の接頭十二面体の体積を求める。

　より　

ここで、よりに注意して計算すると

が得られる。

４　接頭十二面体の表面積

　１辺が１の正十二面体から得られる接頭十二面体の表面積をとすると、

Ｓ＝１２×（１辺ｘの正十角形）＋２０×（１辺ｘの正三角形）

で求められる。この方針で計算を続けると

を得る。１辺が１の接頭十二面体の表面積をとすると、より

が得られる。（お疲れさまでした。）

 

●トレミーの定理の周辺　　　　　　　　　　　　　　　　　　　伊藤潤一（盛岡北高校）

　トレミー（プトレマイオス）定理の初等幾何的証明は、教科書の章末問題にのっているが、高校生にとっては少し難しいと思われる。また、定理を証明させるだけでは、あまり教育的ではない。「やはり定理は、発見せせるように仕組まなきゃ。」ということで、少々計算力が必要だが、次のようなことを考えてみた。

　図のような四角形ＡＢＣＤにおいて、

とする。

に注意して、△ABCと△ACDに余弦定理を用いて、対角線ACの長さを求めてみる。

……�@

……�A

�@、�Aより

……(＊)

が得られる。これを�@に代入して整理すると、

…�B

となる。

　同様にして、として、対角線BDの長さを求めてみる。

に注意して、△ABDと△BCDに余弦定理を用いて、

……�C

……�D

�@、�Aより

が得られる。これを�Cに代入して整理すると、

…�E

となる。

　この�Bと�Eとを比較してみると、同じ因数が分母、分子に登場していることに気がつく。そこで�Bと�Eとを辺々かけてみる。

文字は全て正の数であるので、

……�F

なんと簡明な関係であろうか！これを書き換えると

が成り立つことがわかった。これが、かの有名なトレミーの定理である。

　綺麗に証明できたと自負していたが、金濱先生（大曲高校）から、次のようなアッと驚く証明が紹介された。

 

 

 

 

 

 

 

　左図において四角形ＡＢＣＤの面積をＳ、ＡＣとＢＤのなす角をθ、∠ＣＡＤ＝α、∠ＡＤＢ＝βとすると、

・・・�G

ここで、右図のように辺と辺を入れ換えるととなるので、

・・・�H

�G、�Hを比較してが得られるという。フォー！まるでサーカスですね。