杜陵サークル２月例会報告

　’06杜陵サークル３月例会の案内

　厳しい寒さも峠を越しましたが、杜陵サークルの会員の皆様年度末の激務お疲れさまです。さて、杜陵サークルの３月例会を次の日程でもちます。今回のサークルは、同日１：００から行われる全国大会の準備会のあと引き続きもたれます。また、今回も東京の何森氏（神奈川大）も参加する予定です。忙しい中ですが、新しい仲間を誘って参加するようよろしくお願いします。また、サークル終了後いつもの月見亭で“桃の節句を祝う会”をもつ予定ですので、よろしくお願いします。

記

１　日　時　３月４日（土）ｐｍ４：００～７：００

２　場　所　岩手大学教育学部　小宮山研究室４０７号）

　　　　　　　tel 019-621-6539 fax 019-621-6543

３　内　　　　容実践レポート発表・検討、

　　　　　　　　　　教具作り& 数学実験

インフォメーション

● ３月４日（土）１：００〜３：５０岩手大学教育学部でＡＭＩ全国大会の第４回実行委員会がもたれます。サークル会員の皆様はできるだけ都合をつけてこちらの方も参加してください。この実行委員会には中央から何森先生、東北地区協の各県の実行委員も参加することになっています。

● ２月１１日（土）に東京で全国委員会に岩手から小宮山、下町、木下、宮本、伊藤の５人の先生が参加し、今年の全国大会の東北地区協の提案が一部修正されて認められました。いよいよ準備が始まりますます。

● ２月１２日（日）に東京で全国研究会議がもたれました。ＰＩＳＡ２００３（ＯＥＣＤの学習到達度調査）の日本の数学教育に与えたショックについての報告と討論でした。小林道正氏（中央大）による“的を得た”解説がとても面白かったです。それにしても文科省の楽観的ともいえる解釈には疑問を感じました。平均点が参加国中６位でトップグループという解釈はまあよいとして。数学への興味関心に関する４つの質問項目は、参加国の中で紛れもなく最低グループであるにも関わらず、たった１行“平均より少なかった”で済ませています。この質問項目は“未来の数学学力のポテンシャルエネルギーの表現”なのでこのような文科省の“くさいものにふた”の立場は、数学教育の未来に“暗雲”をもたらす気がします。

● ４月１日、２日に京都の聖護院でＡＭＩの全国高校集会が予定されています。今年の花巻大会の宣伝もかねていきませんか？

● “家庭の算数・数学百科”（日本評論社）の売れ行きは、とてもわかりやすく「寝ころびながらでも読める辞典」ということでとても好調のようです。サークルの６名も著者に入っていますので、たのめば“八掛け”で手に入るはずです。個人でまた学校の図書館に普及したいものですね。

● 絶好調の宮本先生と下町先生のホームページ。宮本先生のホームページの中に杜陵サークルのコーナーがあります。皆さんのぞいてみよう。下町先生のＨＰの中に全国大会のコーナーもあります。ときどきアクセスしてみてください。

　　　下町先生のHP　　http://www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/

　　　　宮本先生のHP　　http://homepage1.nifty.com./toretate/

２月例会の様子

　２月４日（土）杜陵サークル２月例会の様子をお知らせします。

●すずめばちの巣はなぜ正六角形か　　　　　　　　　　　　　中村　潤（千葉学園高校）　

　ファーブルの昆虫記１８の昆虫の幾何から（要約）

　≪すずめばちの家が要求されるもの≫

　すずめばちはこういう①それはより広い住居②より豊富な人口だ③われわれの材料を空費してはならぬ。おのおのの仕切は２つの隣り合った部屋に共用されなければならない。

　≪なぜ正六角形か≫

　この問題を解決するために蜂はどうするか。まず彼は丸い形をすてる。（この形は）隙間なくまとめることも、仕切を共同することもできない。（では）どんな多角形を用いたらよいか。まず、第一にこの多角形は正多角形であることは明らかだ。さて、限りない正多角形のうち、３つだけが無駄な隙間なしに連続的にまとめ上げられる。正３角形、正方形、正６角形だ。一番円に接近しそのため幼虫の円筒の体型に適するものは。正６角形に他ならない。

　≪神は恒に幾何学す≫

　春、すずめばちの巣が建築されるときには、母蜂一人きりだ。母虫その最初の多陵形を建てる。彼女の邪魔をするものは何もない。しかもぐるりに何の接触点もない最初の部屋は、こらから作られる他のものと同様、完全に正６角形である。誤りのない幾何学は最初から裏書きされている。

　私の予想では、

　予想１　周の長さが一定で面積が一番大きいのは円である。つまり、材料が最も少なく一杯入るの

　　　　　が円である。

　予想２　円のつめ方は２種類あるが、円を交互に配置したときは、隙間をつめようとすると正６角

　　　　　形になる。

　このような“お話”のあとで、蜂の巣の個数を数える問題を考えさせ、１辺がの蜂の巣（６角形）の個数が

になることを導いた。また、蜂の巣の個数の和が、次のような「三方壁」の総和とみなすことにより

になるという“驚くべき結果”（何森氏の発想）を得た。

●フィボナッチ数列の一般項について　　　　　　　　　　　　　何森　仁（神奈川大学）

　フィボナッチ数列の一般項は

・・・（１）

ですが、

・・・（２）

とも表せるという。ホンマかいな？さてさて、・・・。

（１）のひき算の式を、（２）のかけ算の式にすればよい。とりあえず、とすると、（１）は

と見やすくなる。だから、として、因数分解すればなんとかなるのでは。

　そこで、方程式の解をとすると、次のようになる。

　当然、なので、

ということは、因数定理によりは

因数

をもつことがわかる。だから、次のように因数分解できる。

　また、であるので、

さて、複素平面で考えると、とは実軸に対して線対称になるので、より、が奇数のときには

となる。

であるので、

ｎが偶数の場合も含めると、ガウス記号を用いて

と書ける。ゴチャゴチャしたけど、難しいものではなかった。（小澤さん、武田さんありがとう）

●２項間漸化式の特性方程式について　　　　　　　　　　　　　金濱　千明（大曲高校）

Ⅰ　

Ⅰ・１　の場合　

　特性方程式の解に対して、

と変形でき、数列が等比数列となることがわかり、

すなわち

という一般項が得られる。

　このとき特性方程式の解αは変換における不動点であるが、で考えると∞も不動点であることがわかり不動点が２つあることがわかる。さらに、で考えると、その不動点は０と∞となる。

Ⅰ・２　のとき

　漸化式は数列が等比数列となることを示しており、

という一般項が得られる。

　このときも特性方程式の解αは変換における不動点であるが、で考えると∞が不動点であることがわかり不動点が１つあることがわかる。

Ⅱ　（一般分数型）

Ⅱ・１　特性方程式が２解α、βをもつ場合

特性方程式が２解α、βに対して

と変形でき、さらにこれらを辺々割ることで

数列が等比数列となることがわかり、

という一般項が得られる。このとき、特性方程式の解α、βは変換における不動点であり、不動点が２つある。さらに、数列で考えると不動点は０と∞となる。

Ⅱ・２　特性方程式が実数の重解αをもつ場合

　特性方程式の解αに対して

と変形でき、さらに逆数をとることで

数列が等差数列となることを示しており、一般項が与えられる。この特性方程式の解αは変換における不動点であるが、で考えると∞が不動点であることがわかり不動点が１つあることがわかる。

●逐次代入法と漸化式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　伊藤潤一（盛岡北高校）

　昨年末に授業で数列の漸化式をやった。何度やっても漸化式は難しい。数列は本来ゲーム的な内容を含んでいるので、楽しめる教材なはずだが、それがΣ記号で揺らいで、漸化式でトドメをさし、最後は数学的帰納法で雲散霧消するというパターになりがちである。終わってみれば“数列なんか大嫌い！”ということになる。

　素朴な数列は、もともと人の好奇心や探求心をあおる絶好の教材なのだから、その素材のよさを生かした“調理法”を開発する必要があるのではないだろうか。

　そこで、今回は数列の漸化式の解法に焦点をあててみたい。漸化式の素朴な解法は、何といっても逐次代入法であろう。しかし、この方法で解くためには、煩雑な経過をくぐり抜けないと最後の解にたどりつけない。途中でイヤになって、挫折してしまうことがけっこう多い。そこで、これを改良してみた。

　漸化式について考えよう。初項と第２項をいろいろな値にしてその変化を調べてみよう。

のとき　　　　のとき　　

のとき　　　　　　　　のとき　　

　注目すべきはのときと、である。これらのときは、それぞれ公比２と公比３の等比数列なっている。では、漸化式の解を構成する２つの等比数列はどうして求めたらよいだろうか？もしこの漸化式が、公比αの等比数列を解にもったと仮定すると

が解なので、

が成り立つはずである。αは

より、次の方程式（これが特性方程式だ！）の解になる。つまり

　より　

が得られる。これより、この漸化式の解はは公比２と公比３の２つの等比数列の和で表され（そう？）ということがわかる。では、

のときは、どのようにしたらよいだろうか。うまい具合に公比２と公比３の等比数列に分離すればよいので、次の連立方程式をとく。

こうすると、

が求まる。そこで、

として逐次代入法を実行してみよう。

これより、

がわかる。（うるさくいえばここで数学的帰納法によってこの式が任意の自然数について成立することを証明しなければならないが、それはまあいいことにしよう）

●三角形の外角の２等分線と線分の比Ⅱ　　　　　　　　　　　　下河原　英（軽米高校）

　三角形の内角の２等分線の線分の比について、次の定理が成り立つことは周知であろう。

角丸四角形: △ ＡＢＣにおいて、∠Ａの２等分線が辺ＢＣと交わる点をＤとすると
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

　また、三角形の外角の２等分線と線分の比について、次の定理が成り立つのもよく知られている。

角丸四角形: △ ＡＢＣにおいて、∠Ａの外角の２等分線が辺ＢＣの延長と交わる点をＤとすると
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

　今回は、この内角・外角の２等分線の線分比の定理を三角形の面積比を利用して証明してみよう。

∠Ａの内角の二等分線と辺ＢＣの交点をＤとすると△ＡＢＤと△ＣＢＤは底辺をそれぞれＢＤ、ＣＤとしてみると、高さが共通しているので

△ＡＢＤ：△ＣＢＤ＝ＢＤ：ＣＤ・・・・①

また、∠ＢＡＤ＝θとすると、∠ＣＡＤ＝θとなり

ゆえに

・・・・②

①、②から

ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

∠Ａの外角の二等分線と辺ＢＣの延長との交点をＤとする。∠Ａの内角の二等分線と辺ＢＣの交点をＥとする．△ＡＢＤと△ＡＣＤは底辺をそれぞれＢＤ、ＣＤとしてみると、高さが共通しているので

△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ＢＤ：ＣＤ

また、∠ＢＡＥ＝θ、∠ＣＡＤ＝φとすると

よって、

△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ

ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ

●立方体から正多面体を切り出す　　　　　　　　　　　　　　宮本　次郎（釜石南高校）

　理数科の「課題研究」で発泡スチロールの立方体から正多面体を切り出すテーマに取り組んだ高校生の研究日誌を紹介します。

　はじめに

　ある日、課題研究の題材について私達が悩んでいると、お煮しめを食べている泉先生を見つけました。いつも美味しそうに食事をとる泉先生が、今日はお煮しめをじっくり見つめています。何かがおかしいなと思い。近づいてみてみると、人参に形が正しく正多角形切り取られていました。聞くところによると、それは宮本先生のお手製のお煮しめだということです。

　泉先生と一緒にお煮しめを堪能した後、早速宮本先生のところに行きました。「あの大根、どうやって切ったんですか！？」「これはな、向かい合っている面が平行で、ここの頂点がこの辺につながるように切っていくと・・・」

　なんだか長い説明が続いたのですが、日常生活ではもちろん、数学の授業でもめったに触れることのない正五角形が１２個もくっついている立体の説明を、大根でされたって分かる訳がないのです。お煮しめだけでは足りない泉先生をよそに、私達の研究が始まりました。

　２００５年７月２５日　

　　正十二面体に内接する名刺を工作

　２００５年７月２６日　

　　１辺の長さ１の立方体から正四面体を取り出すための計算

　２００５年７月２７日