取れたて定理集
凾`ＢＣの各辺の上に、図のように相似な三角形を描く。
図のように、３点Ｐ,Ｑ,Ｒは三角形の外側にとって、対応の順に
凾oＢＣ∽凾`ＱＣ∽凾`ＢＲ
となるようにする。
このとき、３つの三角形凾oＢＣ,凾`ＱＣ,凾`ＢＲの外接円の中心を、
それぞれ、Ｏ1,Ｏ2,Ｏ3とすると、
凾n1Ｏ2Ｏ3は３つの三角形と相似になる。
定理２の条件を満たしているので、３つの三角形の外接円は１点で交わる。
この点をＥとする。弦ＥＣと直線Ｏ1Ｏ2
の交点をＭ1、
弦ＥＡと直線Ｏ2Ｏ3の交点をＭ2とする。
２中心を結ぶ直線と共通弦は直交するから、
四点ＥＭ1Ｏ2Ｍ2は同一円周上にある。
この円に内接する四角形ＥＭ1Ｏ2Ｍ2と
凾`ＱＣの外接円に内接する四角形ＥＣＡＱの対角の関係から、
∠Ｏ1Ｏ2Ｏ3＝∠ＣＱＡ
が成り立つ。
他の２つの角についても同様である。
この定理４より、三角形の各辺の上に正三角形をのせたとき、 正三角形の重心と外心は一致することから、３つの正三角形の重心を 結んでできる三角形は、正三角形に相似になる、すなわち正三角形に なる。
次の定理は、定理４からただちにわかる。
三角形ＡＢＣの２つの辺の上に正方形をつくる。２つの正方形の外接円と 残った辺を直径とする円は一点で交わる。 また、残った辺の中点と二つの外接円の中心を結ぶと、直角二等辺三角形と なる。
今日の３つの定理も、 「取れたての定理です」第２巻で 安保君が紹介した定理である。
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