＜ルーローの四面体の作成＞
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マンホールのふたはなぜ丸いのか？
マンホールのふたは、なぜ丸いか、考えたことがありますか？地面に穴が開いたままなので、ふたをして穴に落ちないようにします。このときもしも、丸くないふたがあったとしたら、どういうことが起るのでしょうか？
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もしもマンホールのふたが正方形だったら・・・
一辺の長さが、ａの正方形の穴の、対角線方向の長さは
ａもあります。したがって、ふたが地面に垂直に、しかも対角線方向に入ってくれば、するりと穴の中にはいってしまいます。とったふたを斜めにすると、ふたは穴の中に落ちてしまいます。
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どの方向の幅も等しい図形とは？
円の場合は、どの方向から幅を測っても等しい幅になっています。
ところが、たとえば三角形を考えてみても、下の図のような二つの方向について、幅ａのときと、幅
ａのときとあります。
幅の狭いａを広げてaにするにはどうしたらいいのでしょうか？その点だけ広げても、その途中は幅が狭くなってしまいます。幅の狭い部分を広げて、同じ幅にするにはどうすればいいのでしょうか？
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円弧でつないでみよう！
円がどの方向から測っても等しい幅の曲線になっていることを利用することを考えてみましょう。次の図のように一つの頂点を中心に正三角形の１辺の長さを半径とする円弧で残り２点を結んでみましょう。
この図形では、円弧の中心となった点と、円弧上の任意の点における幅を測っても一定になっています。
このようにして、三角形の３つの頂点のそれぞれにおいて、同様にして円弧でつないでできる次のような曲線を考えると、これはどの方向から測っても等しい幅の曲線となっているのではないでしょうか？
このような曲線を「ルーローの三角形」といいます。ロータリーエンジンの中で回っているのは、このかたちのものらしいです。また、断面がルーローの三角形の形をしたドリルの刃を使って正三角形のほぞ穴あける工具があります。
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では、立体の場合は？
平面の中でどの方向から測っても等しい幅の図形（曲線）は円以外にもいろいろあることがわかりました。
それでは、立体の場合にはどうなるのか考えてみましょう。
二つの平行な面で挟んだときに、球はその平面の間で自由に方向を変えることができ、なおかつ、隙間があくわけではありません。
それでは、平面の場合の三角形の変わりに立体の場合には正四面体を考えてみましょう。
正三角形の時と同じように、正四面体の各頂点を中心とし、半径が正四面体の１辺になる球面をつけてみるとどうなるでしょう？
